線形写像 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ が与えられたとき、$\mathbb{R}^n$ のある基底 $\{a_1, ..., a_n\}$ と $\mathbb{R}^m$ のある基底 $\{b_1, ..., b_m\}$ をうまく選べば、その基底に関する $f$ の表現行列が標準形になることを示す問題です。

1. 問題の内容

線形写像 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ が与えられたとき、$\mathbb{R}^n$ のある基底 $\{a_1, ..., a_n\}$ と $\mathbb{R}^m$ のある基底 $\{b_1, ..., b_m\}$ をうまく選べば、その基底に関する $f$ の表現行列が標準形になることを示す問題です。

2. 解き方の手順

(ヒントに従って解きます)

(1) まず、$\mathbb{R}^n$ と $\mathbb{R}^m$ にそれぞれ勝手な基底 $\{a'_1, ..., a'_n\}$ と $\{b'_1, ..., b'_m\}$ を選びます。

(2) これらの基底に関する $f$ の表現行列を $F$ とします。

(3) $F$ に対して行列の標準形 (簡約形) を求めます。つまり、正則行列 $P$ と $Q$ を用いて、

$PFQ^{-1} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

となるようにします。ここで、$I_r$ は $r \times r$ の単位行列、$r$ は $F$ のランクです。

(4) 上で求めた正則行列 $P$ と $Q$ を使って、求める基底を作ります。

新しい $\mathbb{R}^n$ の基底 $\{a_1, ..., a_n\}$ は、もとの基底 $\{a'_1, ..., a'_n\}$ に対して、$Q$ によって変換されたものとします。すなわち、$a_i = \sum_{j=1}^n Q_{ji} a'_j$ です。

同様に、新しい $\mathbb{R}^m$ の基底 $\{b_1, ..., b_m\}$ は、もとの基底 $\{b'_1, ..., b'_m\}$ に対して、$P^{-1}$ によって変換されたものとします。すなわち、$b_i = \sum_{j=1}^m (P^{-1})_{ji} b'_j$ です。言い換えると、$Pb_i = b'_i$ ということになります。

(5) このようにして求めた新しい基底 $\{a_1, ..., a_n\}$ と $\{b_1, ..., b_m\}$ に関する $f$ の表現行列が標準形 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ となることを確認します。

実際、$\mathbb{R}^n$ の基底 $\{a_1, ..., a_n\}$ に関して $f(a_i)$ を計算すると、

$f(a_i) = f(\sum_{j=1}^n Q_{ji} a'_j) = \sum_{j=1}^n Q_{ji} f(a'_j) = \sum_{j=1}^n Q_{ji} (\sum_{k=1}^m F_{kj} b'_k) = \sum_{k=1}^m (\sum_{j=1}^n F_{kj}Q_{ji}) b'_k$

さらに $PFQ^{-1} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ を考えると、$F Q = P^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$なので、$\sum_{j=1}^n F_{kj}Q_{ji} = (P^{-1})_{ki}$ ($k \le r$ の場合)または0 ($k > r$ の場合) となります。

すると、$f(a_i) = \sum_{k=1}^m (P^{-1})_{ki}b'_k = b_i$ ($i \le r$ の場合)となり、また $f(a_i) = 0$ ($i > r$ の場合)となります。

したがって、新しい基底 $\{a_1, ..., a_n\}$ と $\{b_1, ..., b_m\}$ に関する $f$ の表現行列は、標準形 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

$\mathbb{R}^n$ の基底 $\{a_1, ..., a_n\}$ と $\mathbb{R}^m$ の基底 $\{b_1, ..., b_m\}$ を上記の手順で選べば、$f$ の表現行列は標準形 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ となる。