線形写像 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ と $\mathbb{R}^m$ の基底 $\{b_1, \dots, b_m\}$ について、$f(a_i) = b_i$ となるベクトル $a_i \in \mathbb{R}^n$ ($i = 1, \dots, m$) が存在するとする。このとき、以下の3つのことを示す。 (1) $f$ は全射である。 (2) $\{a_1, \dots, a_m\}$ は1次独立である。 (3) $n \ge m$ となる。

1. 問題の内容

線形写像 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ と $\mathbb{R}^m$ の基底 $\{b_1, \dots, b_m\}$ について、$f(a_i) = b_i$ となるベクトル $a_i \in \mathbb{R}^n$ ($i = 1, \dots, m$) が存在するとする。このとき、以下の3つのことを示す。

(1) $f$ は全射である。

(2) $\{a_1, \dots, a_m\}$ は1次独立である。

(3) $n \ge m$ となる。

2. 解き方の手順

(1) $f$ が全射であることの証明：

$\mathbb{R}^m$ の任意のベクトル $b$ を考える。$\{b_1, \dots, b_m\}$ は $\mathbb{R}^m$ の基底なので、あるスカラー $c_1, \dots, c_m$ が存在して、

$$$$

b = c_1 b_1 + \dots + c_m b_m

$$$$

と表せる。ここで、$f(a_i) = b_i$ であることから、

$$$$

f(c_1 a_1 + \dots + c_m a_m) = c_1 f(a_1) + \dots + c_m f(a_m) = c_1 b_1 + \dots + c_m b_m = b

$$$$

となる。したがって、$a = c_1 a_1 + \dots + c_m a_m$ とおくと、$f(a) = b$ となる。これは、$\mathbb{R}^m$ の任意のベクトル $b$ に対して、ある $a \in \mathbb{R}^n$ が存在し、$f(a) = b$ となることを意味するので、$f$ は全射である。

(2) $\{a_1, \dots, a_m\}$ が1次独立であることの証明：

$c_1 a_1 + \dots + c_m a_m = 0$ となるスカラー $c_1, \dots, c_m$ を考える。このとき、

$$$$

f(c_1 a_1 + \dots + c_m a_m) = f(0) = 0

$$$$

線形性より、

$$$$

c_1 f(a_1) + \dots + c_m f(a_m) = 0

$$$$

$f(a_i) = b_i$ であるから、

$$$$

c_1 b_1 + \dots + c_m b_m = 0

$$$$

$\{b_1, \dots, b_m\}$ は $\mathbb{R}^m$ の基底であるので、1次独立である。したがって、$c_1 = \dots = c_m = 0$ となる。これは、$c_1 a_1 + \dots + c_m a_m = 0$ ならば $c_1 = \dots = c_m = 0$ であることを意味するので、$\{a_1, \dots, a_m\}$ は1次独立である。

(3) $n \ge m$ となることの証明：

$\{a_1, \dots, a_m\}$ は $\mathbb{R}^n$ の1次独立なベクトルの集合である。$\mathbb{R}^n$ における1次独立なベクトルの最大個数は $n$ である。したがって、$m \le n$ となる。つまり、$n \ge m$ である。

3. 最終的な答え

(1) $f$ は全射である。

(2) $\{a_1, \dots, a_m\}$ は1次独立である。

(3) $n \ge m$ となる。