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線形写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が与えられています。$\mathbb{R}^3$ の基底 $\{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}\}$ と $\mathbb{R}^2$ の基底 $\{\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}\}$ に関する表現行列が $\begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$ であるとき、標準基底に関する表現行列を求めます。

代数学線形写像表現行列基底変換線形代数
2025/7/16

1. 問題の内容

線形写像 f:R3→R2f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 が与えられています。R3\mathbb{R}^3 の基底 {[211],[−1−11],[302]}\{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}\} と R2\mathbb{R}^2 の基底 {[14],[25]}\{\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}\} に関する表現行列が [3012−13]\begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} であるとき、標準基底に関する表現行列を求めます。

2. 解き方の手順

R3\mathbb{R}^3 の基底を v1=[211],v2=[−1−11],v3=[302]v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} とし、R2\mathbb{R}^2 の基底を w1=[14],w2=[25]w_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}, w_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} とします。
表現行列 A=[3012−13]A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} は、f(v1)=3w1+2w2f(v_1) = 3w_1 + 2w_2, f(v2)=0w1−1w2f(v_2) = 0w_1 - 1w_2, f(v3)=1w1+3w2f(v_3) = 1w_1 + 3w_2 を意味します。
具体的には、
f(v1)=3[14]+2[25]=[3+412+10]=[722]f(v_1) = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3+4 \\ 12+10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 22 \end{bmatrix}
f(v2)=0[14]−1[25]=[−2−5]f(v_2) = 0\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix} - 1\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -5 \end{bmatrix}
f(v3)=1[14]+3[25]=[1+64+15]=[719]f(v_3) = 1\begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+6 \\ 4+15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 19 \end{bmatrix}
次に、R2\mathbb{R}^2 の基底の変換行列を求めます。
w1=[14],w2=[25]w_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}, w_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} から標準基底への変換行列を W=[1245]W = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} とします。
W−1=15−8[5−2−41]=−13[5−2−41]=[−5/32/34/3−1/3]W^{-1} = \frac{1}{5-8}\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \frac{-1}{3}\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5/3 & 2/3 \\ 4/3 & -1/3 \end{bmatrix}
f(v1),f(v2),f(v3)f(v_1), f(v_2), f(v_3) を標準基底で表したベクトルはそれぞれ [722],[−2−5],[719]\begin{bmatrix} 7 \\ 22 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \\ -5 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 7 \\ 19 \end{bmatrix} です。
よって、f(v1)=[722]f(v_1) = \begin{bmatrix} 7 \\ 22 \end{bmatrix}, f(v2)=[−2−5]f(v_2) = \begin{bmatrix} -2 \\ -5 \end{bmatrix}, f(v3)=[719]f(v_3) = \begin{bmatrix} 7 \\ 19 \end{bmatrix}.
R3\mathbb{R}^3 の標準基底を e1=[100],e2=[010],e3=[001]e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} とします。
v1,v2,v3v_1, v_2, v_3 から標準基底への変換行列を V=[2−131−10112]V = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} とします。
VV の逆行列 V−1V^{-1} を求めます。
det(V)=2(−2−0)−(−1)(2−0)+3(1−(−1))=−4+2+6=4det(V) = 2(-2-0) - (-1)(2-0) + 3(1-(-1)) = -4 + 2 + 6 = 4.
V−1=14[−25−3−2132−3−1]=[−1/25/4−3/4−1/21/43/41/2−3/4−1/4]V^{-1} = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} -2 & 5 & -3 \\ -2 & 1 & 3 \\ 2 & -3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & 5/4 & -3/4 \\ -1/2 & 1/4 & 3/4 \\ 1/2 & -3/4 & -1/4 \end{bmatrix}
e1=[100]=−12v1−12v2+12v3e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2}v_1 - \frac{1}{2}v_2 + \frac{1}{2}v_3
e2=[010]=54v1+14v2−34v3e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{5}{4}v_1 + \frac{1}{4}v_2 - \frac{3}{4}v_3
e3=[001]=−34v1+34v2−14v3e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = -\frac{3}{4}v_1 + \frac{3}{4}v_2 - \frac{1}{4}v_3
f(e1)=−12f(v1)−12f(v2)+12f(v3)=−12[722]−12[−2−5]+12[719]=[−7/2+1+7/2−11+5/2+19/2]=[1−11+12]=[11]f(e_1) = -\frac{1}{2}f(v_1) - \frac{1}{2}f(v_2) + \frac{1}{2}f(v_3) = -\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 7 \\ 22 \end{bmatrix} - \frac{1}{2}\begin{bmatrix} -2 \\ -5 \end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 7 \\ 19 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7/2+1+7/2 \\ -11+5/2+19/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -11+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
f(e2)=54f(v1)+14f(v2)−34f(v3)=54[722]+14[−2−5]−34[719]=[35/4−2/4−21/4110/4−5/4−57/4]=[12/448/4]=[312]f(e_2) = \frac{5}{4}f(v_1) + \frac{1}{4}f(v_2) - \frac{3}{4}f(v_3) = \frac{5}{4}\begin{bmatrix} 7 \\ 22 \end{bmatrix} + \frac{1}{4}\begin{bmatrix} -2 \\ -5 \end{bmatrix} - \frac{3}{4}\begin{bmatrix} 7 \\ 19 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 35/4-2/4-21/4 \\ 110/4-5/4-57/4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12/4 \\ 48/4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 12 \end{bmatrix}
f(e3)=−34f(v1)+34f(v2)−14f(v3)=−34[722]+34[−2−5]−14[719]=[−21/4−6/4−7/4−66/4−15/4−19/4]=[−34/4−100/4]=[−17/2−25]f(e_3) = -\frac{3}{4}f(v_1) + \frac{3}{4}f(v_2) - \frac{1}{4}f(v_3) = -\frac{3}{4}\begin{bmatrix} 7 \\ 22 \end{bmatrix} + \frac{3}{4}\begin{bmatrix} -2 \\ -5 \end{bmatrix} - \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 7 \\ 19 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -21/4-6/4-7/4 \\ -66/4-15/4-19/4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -34/4 \\ -100/4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -17/2 \\ -25 \end{bmatrix}
したがって、標準基底に関する表現行列は [13−17/2112−25]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -17/2 \\ 1 & 12 & -25 \end{bmatrix} となります。

3. 最終的な答え

[13−17/2112−25]\begin{bmatrix} 1 & 3 & -17/2 \\ 1 & 12 & -25 \end{bmatrix}

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