線形変換 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ について、以下の2点を証明する問題です。 (1) $f$ が単射であることと全射であることは同値である。 (2) $f$ が全単射であるとき、その逆写像 $f^{-1}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ も線形写像となる。

1. 問題の内容

線形変換 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ について、以下の2点を証明する問題です。

(1) $f$ が単射であることと全射であることは同値である。

(2) $f$ が全単射であるとき、その逆写像 $f^{-1}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ も線形写像となる。

2. 解き方の手順

(1) $f$ が単射であることと全射であることの同値性

* $f$ を $\mathbb{R}^n$ から $\mathbb{R}^n$ への線形変換とします。

* $f$ に対応する $n \times n$ 行列を $A$ とします。

* $f$ が単射であるとは、$Ax = 0$ ならば $x = 0$ であるということです。これは、$A$ の核 (kernel) が $\{0\}$ のみであることを意味します。

* $f$ が全射であるとは、任意の $y \in \mathbb{R}^n$ に対して、$Ax = y$ となる $x \in \mathbb{R}^n$ が存在することです。これは、$A$ の像 (image) が $\mathbb{R}^n$ 全体であることを意味します。

* 線形代数のランク・ヌラリティ定理 (Rank-Nullity Theorem) を用います。$\dim(\text{ker}(A)) + \text{rank}(A) = n$ です。

* $f$ が単射であれば、$\dim(\text{ker}(A)) = 0$ です。したがって、$\text{rank}(A) = n$ となり、$A$ は full rank です。これは $A$ の列ベクトルが線形独立であることを意味し、$Ax = y$ が任意の $y$ に対して解を持つことを示します。したがって、$f$ は全射です。

* $f$ が全射であれば、$\text{rank}(A) = n$ です。したがって、$\dim(\text{ker}(A)) = 0$ となり、$A$ の核は $\{0\}$ のみです。これは $Ax = 0$ ならば $x = 0$ であることを意味します。したがって、$f$ は単射です。

* したがって、$f$ が単射であることと全射であることは同値です。

(2) $f^{-1}$ が線形写像であること

* $f$ が全単射であると仮定します。したがって、$f^{-1}$ が存在します。

* $f^{-1}$ が線形写像であることを示すには、線形性の定義を満たすことを示します。つまり、任意の $y_1, y_2 \in \mathbb{R}^n$ と任意のスカラー $c \in \mathbb{R}$ に対して、以下の2つの条件が成り立つことを示す必要があります。

1. $f^{-1}(y_1 + y_2) = f^{-1}(y_1) + f^{-1}(y_2)$

2. $f^{-1}(c y_1) = c f^{-1}(y_1)$

* $x_1 = f^{-1}(y_1)$ および $x_2 = f^{-1}(y_2)$ とします。このとき、$f(x_1) = y_1$ および $f(x_2) = y_2$ です。

* $f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) = y_1 + y_2$ (なぜなら、$f$ は線形写像だから)。したがって、$f^{-1}(y_1 + y_2) = x_1 + x_2 = f^{-1}(y_1) + f^{-1}(y_2)$ となり、1つ目の条件が満たされます。

* $f(c x_1) = c f(x_1) = c y_1$ (なぜなら、$f$ は線形写像だから)。したがって、$f^{-1}(c y_1) = c x_1 = c f^{-1}(y_1)$ となり、2つ目の条件が満たされます。

* したがって、$f^{-1}$ は線形写像です。

3. 最終的な答え

(1) 線形変換 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ について、$f$ が単射であることと全射であることは同値である。

(2) 線形変換 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ が全単射であるとき、その逆写像 $f^{-1}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ も線形写像となる。