与えられた行列の等式 $AX = B$ を満たす正方行列 $X$ を求める問題です。ここで、$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 5 & 3 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた行列の等式 $AX = B$ を満たす正方行列 $X$ を求める問題です。ここで、$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 5 & 3 \end{pmatrix}$、$B = \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$ です。

2. 解き方の手順

$AX = B$ を満たす $X$ を求めるためには、$A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在する場合、$X = A^{-1}B$ を計算すればよいです。

まず、$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & 5 & 3 \end{pmatrix}$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(-2 \cdot 3 - 1 \cdot 5) - (-3)(1 \cdot 3 - 1 \cdot (-3)) + 3(1 \cdot 5 - (-2) \cdot (-3))$

$= 1(-6 - 5) + 3(3 + 3) + 3(5 - 6)$

$= -11 + 18 - 3 = 4$

$|A| = 4 \neq 0$ より、$A$ は逆行列を持ちます。

次に、$A$ の余因子行列を求めます。

$C = \begin{pmatrix} (-6-5) & -(3+3) & (5-6) \\ -(-9-15) & (3+9) & -(5-9) \\ (-3+6) & -(1-3) & (-2+3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 & -6 & -1 \\ 24 & 12 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$A$ の余因子行列の転置行列（adjugate matrix）を計算します。

$C^T = \begin{pmatrix} -11 & 24 & 3 \\ -6 & 12 & 2 \\ -1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -11 & 24 & 3 \\ -6 & 12 & 2 \\ -1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

最後に、$X = A^{-1}B$ を計算します。

$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -11 & 24 & 3 \\ -6 & 12 & 2 \\ -1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 7 & 4 \\ 4 & 6 & 3 \\ 8 & 7 & 4 \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -88 + 96 + 24 & -77 + 144 + 21 & -44 + 72 + 12 \\ -48 + 48 + 16 & -42 + 72 + 14 & -24 + 36 + 8 \\ -8 + 16 + 8 & -7 + 24 + 7 & -4 + 12 + 4 \end{pmatrix}$

$X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 32 & 88 & 40 \\ 16 & 44 & 20 \\ 16 & 24 & 12 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 8 & 22 & 10 \\ 4 & 11 & 5 \\ 4 & 6 & 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 8 & 22 & 10 \\ 4 & 11 & 5 \\ 4 & 6 & 3 \end{pmatrix}$