$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ を任意の線形写像とします。このとき、$\mathbb{R}^n$ のある基底 $\{a_1, \dots, a_n\}$ と $\mathbb{R}^m$ のある基底 $\{b_1, \dots, b_m\}$ をうまく選べば、その基底に関して $f$ の表現行列は標準形になることを示してください。

1. 問題の内容

$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ を任意の線形写像とします。このとき、$\mathbb{R}^n$ のある基底 $\{a_1, \dots, a_n\}$ と $\mathbb{R}^m$ のある基底 $\{b_1, \dots, b_m\}$ をうまく選べば、その基底に関して $f$ の表現行列は標準形になることを示してください。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\mathbb{R}^n$ の任意の基底 $\{a'_1, \dots, a'_n\}$ と $\mathbb{R}^m$ の任意の基底 $\{b'_1, \dots, b'_m\}$ を選びます。

(2) これらの基底に関する $f$ の表現行列を $F$ とします。つまり、$f(a'_j) = \sum_{i=1}^m F_{ij} b'_i$ です。

(3) 線形代数の標準的な結果として、正則行列 $P$ と $Q$ が存在して、$PFQ^{-1}$ が標準形となります。つまり、ある整数 $r$ (rank $F$) が存在して、

$PFQ^{-1} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

となります。ここで、$I_r$ は $r \times r$ の単位行列であり、$0$ はゼロ行列です。

(4) $\mathbb{R}^n$ の新しい基底 $\{a_1, \dots, a_n\}$ を $a_j = \sum_{k=1}^n Q_{kj} a'_k$ で定義します。

$\mathbb{R}^m$ の新しい基底 $\{b_1, \dots, b_m\}$ を $b_i = \sum_{l=1}^m P^{-1}_{li} b'_l$ で定義します。

(5) この新しい基底 $\{a_j\}$ と $\{b_i\}$ に関する $f$ の表現行列を $F'$ とします。$f(a_j) = f(\sum_{k=1}^n Q_{kj} a'_k) = \sum_{k=1}^n Q_{kj} f(a'_k) = \sum_{k=1}^n Q_{kj} \sum_{i=1}^m F_{ik} b'_i = \sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^n F_{ik} Q_{kj} b'_i = \sum_{i=1}^m (FQ)_{ij} b'_i$

$b'_i = \sum_{l=1}^m P_{li} b_l$ より、

$f(a_j) = \sum_{i=1}^m (FQ)_{ij} \sum_{l=1}^m P_{li} b_l = \sum_{l=1}^m \sum_{i=1}^m P_{li} (FQ)_{ij} b_l = \sum_{l=1}^m (PFQ)_{lj} b_l$

(6) したがって、$F' = PFQ^{-1}$ となります。

もし、$PFQ^{-1} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ならば、$f(a_j) = b_j$ ($1 \le j \le r$) であり、$f(a_j) = 0$ ($r+1 \le j \le n$) となります。

従って、$F'$ は標準形となります。

3. 最終的な答え

$\mathbb{R}^n$ のある基底 $\{a_1, \dots, a_n\}$ と $\mathbb{R}^m$ のある基底 $\{b_1, \dots, b_m\}$ を適切に選べば、$f$ の表現行列は標準形にできます。

具体的には、$PFQ^{-1} = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ となる正則行列 $P,Q$ が存在し、$a_j = \sum_{k=1}^n Q_{kj} a'_k$、$b_i = \sum_{l=1}^m P^{-1}_{li} b'_l$ とすれば、この基底に関する $f$ の表現行列は標準形になる。