数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n = (n+1)^2$とするとき、以下の問いに答えます。 (1) 一般項$a_n$を求めます。 (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{a_k a_{k+1}}$ ($n \ge 2$)を求めます。 (3) $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n-1}$ ($n \ge 2$)を求めます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n = (n+1)^2$とするとき、以下の問いに答えます。

(1) 一般項$a_n$を求めます。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{a_k a_{k+1}}$ ($n \ge 2$)を求めます。

(3) $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n-1}$ ($n \ge 2$)を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 一般項$a_n$を求めます。

$n \ge 2$のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$で求められます。

$S_n = (n+1)^2$なので、$S_{n-1} = ((n-1)+1)^2 = n^2$です。

よって、

$a_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$

$n=1$のとき、$a_1 = S_1 = (1+1)^2 = 4$

$a_n = 2n + 1$に$n=1$を代入すると、$2(1) + 1 = 3$となり、$a_1$の値が一致しません。

したがって、

$a_1 = 4$

$a_n = 2n + 1$ ($n \ge 2$)

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{a_k a_{k+1}}$ ($n \ge 2$)を求めます。

$a_k = 2k+1$なので、$a_{k+1} = 2(k+1) + 1 = 2k + 3$

$\frac{2}{a_k a_{k+1}} = \frac{2}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{a_k a_{k+1}} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3})$

$= (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3})$

$= \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} = \frac{2n+3 - 3}{3(2n+3)} = \frac{2n}{3(2n+3)} = \frac{2n}{6n+9}$

ただし、$a_1 = 4$なので、$k=1$の項は、

$\frac{2}{a_1 a_2} = \frac{2}{4 \cdot 5} = \frac{1}{10}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{a_k a_{k+1}} = \frac{2}{a_1 a_2} + \sum_{k=2}^{n} \frac{2}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{10} + \sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3})$

$\sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}) = (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{9}) + \dots + (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3})$

$= \frac{1}{5} - \frac{1}{2n+3} = \frac{2n+3 - 5}{5(2n+3)} = \frac{2n-2}{5(2n+3)}$

$\frac{1}{10} + \frac{2n-2}{5(2n+3)} = \frac{2n+3 + 4(2n-2)}{10(2n+3)} = \frac{2n+3 + 8n - 8}{10(2n+3)} = \frac{10n-5}{10(2n+3)} = \frac{2n-1}{2(2n+3)}$

(3) $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n-1}$ ($n \ge 2$)を求めます。

$a_1 = 4$

$a_{2n-1} = 2(2n-1)+1 = 4n - 2 + 1 = 4n - 1$

$\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1} = a_1 + \sum_{k=2}^{n} (4k - 1)$

$= 4 + \sum_{k=2}^{n} (4k-1) = 4 + 4 \sum_{k=2}^{n} k - \sum_{k=2}^{n} 1$

$= 4 + 4 (\frac{n(n+1)}{2} - 1) - (n-1)$

$= 4 + 2n(n+1) - 4 - n + 1 = 2n^2 + 2n - n + 1 = 2n^2 + n + 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = 4$, $a_n = 2n + 1$ ($n \ge 2$)

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{a_k a_{k+1}} = \frac{2n-1}{4n+6}$

(3) $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n-1} = 2n^2 + n + 1$