次の漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + 2$ (2) $a_1 = -4, a_{n+1} = 3a_n$ (3) $a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = 4^n - 2n$ (4) $a_1 = 1, a_n = a_{n-1} + (n-1) \cdot 5^n$ ( $n \geq 2$) (5) $a_1 = 1, a_{n+1} = 3a_n - 4$ (6) $a_1 = 5, a_n + a_{n+1} = 3$

はい、承知いたしました。与えられた数列の一般項を求めます。

1. 問題の内容

次の漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 3, a_{n+1} = a_n + 2$

(2) $a_1 = -4, a_{n+1} = 3a_n$

(3) $a_1 = 1, a_{n+1} - a_n = 4^n - 2n$

(4) $a_1 = 1, a_n = a_{n-1} + (n-1) \cdot 5^n$ ( $n \geq 2$)

(5) $a_1 = 1, a_{n+1} = 3a_n - 4$

(6) $a_1 = 5, a_n + a_{n+1} = 3$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = a_n + 2$ は等差数列の漸化式です。初項 $a_1 = 3$、公差 $2$ なので、一般項は

$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)2 = 2n + 1$

(2) $a_{n+1} = 3a_n$ は等比数列の漸化式です。初項 $a_1 = -4$、公比 $3$ なので、一般項は

$a_n = a_1 r^{n-1} = -4 \cdot 3^{n-1}$

(3) $a_{n+1} - a_n = 4^n - 2n$ より、階差数列の公式を利用します。

$n \geq 2$ のとき

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4^k - 2k)$

$= 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k - 2 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$= 1 + \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4-1} - 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$= 1 + \frac{4^n - 4}{3} - n(n-1)$

$= \frac{3 + 4^n - 4 - 3n^2 + 3n}{3}$

$= \frac{4^n - 3n^2 + 3n - 1}{3}$

$n=1$ のとき、 $a_1 = \frac{4 - 3 + 3 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ となり、これは与えられた条件と一致します。

したがって、

$a_n = \frac{4^n - 3n^2 + 3n - 1}{3}$

(4) $a_n = a_{n-1} + (n-1)5^n$ なので、$a_{n+1} = a_n + n 5^{n+1}$ となります。

$n \geq 2$ のとき

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot 5^{k+1}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k \cdot 5^{k+1} = 5^2 + 2 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^4 + \dots + (n-1) 5^n$

$S = 5^2 + 2 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^4 + \dots + (n-1) 5^n$

$5S = 5^3 + 2 \cdot 5^4 + 3 \cdot 5^5 + \dots + (n-2) 5^n + (n-1) 5^{n+1}$

$-4S = 5^2 + 5^3 + 5^4 + \dots + 5^n - (n-1) 5^{n+1}$

$-4S = \frac{5^2 (5^{n-1} - 1)}{5-1} - (n-1) 5^{n+1}$

$-4S = \frac{25 (5^{n-1} - 1)}{4} - (n-1) 5^{n+1}$

$S = -\frac{25}{16} (5^{n-1} - 1) + \frac{n-1}{4} 5^{n+1}$

$a_n = 1 - \frac{25}{16} (5^{n-1} - 1) + \frac{n-1}{4} 5^{n+1}$

(5) $a_{n+1} = 3a_n - 4$

特性方程式 $x = 3x - 4$ を解くと $2x = 4$ より $x = 2$

$a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)$

$b_n = a_n - 2$ とおくと、 $b_{n+1} = 3b_n$

$b_1 = a_1 - 2 = 1 - 2 = -1$

$b_n = (-1) \cdot 3^{n-1} = -3^{n-1}$

$a_n = b_n + 2 = -3^{n-1} + 2$

(6) $a_n + a_{n+1} = 3$

$a_{n+1} + a_{n+2} = 3$

辺々引くと

$a_n - a_{n+2} = 0$ より $a_{n+2} = a_n$

偶数番目と奇数番目は同じ値になります。

$a_1 = 5$ なので、 $a_3 = 5, a_5 = 5, \dots$

$a_1 + a_2 = 3$ より $5 + a_2 = 3$ なので $a_2 = -2$

$a_2 = -2$ なので、 $a_4 = -2, a_6 = -2, \dots$

$a_{2k-1} = 5$

$a_{2k} = -2$

$a_n = \begin{cases} 5 & (n \text{ が奇数のとき}) \\ -2 & (n \text{ が偶数のとき}) \end{cases}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n + 1$

(2) $a_n = -4 \cdot 3^{n-1}$

(3) $a_n = \frac{4^n - 3n^2 + 3n - 1}{3}$

(4) $a_n = 1 - \frac{25}{16} (5^{n-1} - 1) + \frac{n-1}{4} 5^{n+1}$

(5) $a_n = 2 - 3^{n-1}$

(6) $a_n = \begin{cases} 5 & (n \text{ が奇数のとき}) \\ -2 & (n \text{ が偶数のとき}) \end{cases}$