問題は3つあります。 問題2： 関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 4a + 1$ ($-1 \le x \le 2$) について、$a$ の値によって最大値を取る $x$ の値と最大値自体が変化します。それぞれの場合における$x$の値と最大値を答える問題です。 問題3： 関数 $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) + 10$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $t = x^2 - 2x$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) この関数の最大値、最小値があれば、それを求めよ。そのときの $x$ の値を必ず示すこと。 問題4： 放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ を、$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、直線 $y = -x$ と直線 $y = 3x$ の両方に接する。定数 $p, q$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

問題2：

関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 4a + 1$ ($-1 \le x \le 2$) について、$a$ の値によって最大値を取る $x$ の値と最大値自体が変化します。それぞれの場合における$x$の値と最大値を答える問題です。

問題3：

関数 $y = (x^2 - 2x)^2 + 4(x^2 - 2x) + 10$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $t = x^2 - 2x$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) この関数の最大値、最小値があれば、それを求めよ。そのときの $x$ の値を必ず示すこと。

問題4：

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ を、$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、直線 $y = -x$ と直線 $y = 3x$ の両方に接する。定数 $p, q$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題2：

$f(x) = -x^2 + 2ax + 4a + 1$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 2ax) + 4a + 1$

$f(x) = -(x - a)^2 + a^2 + 4a + 1$

グラフは上に凸な放物線で、軸は $x = a$ です。定義域は $-1 \le x \le 2$ です。

(ア) $a < -1$ のとき、最大値は $x = -1$ のときにとります。

$f(-1) = -(-1)^2 + 2a(-1) + 4a + 1 = -1 - 2a + 4a + 1 = 2a$

(イ) $-1 \le a \le 2$ のとき、最大値は $x = a$ のときにとります。

$f(a) = a^2 + 4a + 1$

(ウ) $2 < a$ のとき、最大値は $x = 2$ のときにとります。

$f(2) = -2^2 + 2a(2) + 4a + 1 = -4 + 4a + 4a + 1 = 8a - 3$

問題3：

(1) $t = x^2 - 2x$ とおきます。$t = (x - 1)^2 - 1$ と変形できます。

$x$ の範囲に制限がないので、$t \ge -1$

(2) $y = t^2 + 4t + 10$ に $t = x^2 - 2x$ を代入すると、$y = (t + 2)^2 + 6$ と変形できます。

$t \ge -1$ なので、$t = -1$ のとき最小値をとります。最小値は $(-1 + 2)^2 + 6 = 1 + 6 = 7$

$t = -1$ のとき、$x^2 - 2x = -1$ より、$x^2 - 2x + 1 = 0$ なので、$(x - 1)^2 = 0$。したがって、$x = 1$

$t$ がいくらでも大きくなれるので、最大値はありません。

問題4：

$y = \frac{1}{2}x^2$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線は、$y = \frac{1}{2}(x - p)^2 + q$ となります。

$y = -x$ と接するとき、$\frac{1}{2}(x - p)^2 + q = -x$

$\frac{1}{2}(x^2 - 2px + p^2) + q + x = 0$

$x^2 - 2px + p^2 + 2q + 2x = 0$

$x^2 + (2 - 2p)x + p^2 + 2q = 0$

判別式 $D_1 = (2 - 2p)^2 - 4(p^2 + 2q) = 0$

$4 - 8p + 4p^2 - 4p^2 - 8q = 0$

$1 - 2p - 2q = 0$

$2q = 1 - 2p$

$y = 3x$ と接するとき、$\frac{1}{2}(x - p)^2 + q = 3x$

$\frac{1}{2}(x^2 - 2px + p^2) + q - 3x = 0$

$x^2 - 2px + p^2 + 2q - 6x = 0$

$x^2 + (-2p - 6)x + p^2 + 2q = 0$

判別式 $D_2 = (-2p - 6)^2 - 4(p^2 + 2q) = 0$

$4p^2 + 24p + 36 - 4p^2 - 8q = 0$

$24p + 36 - 8q = 0$

$6p + 9 - 2q = 0$

$2q = 6p + 9$

$1 - 2p = 6p + 9$ より、$8p = -8$ なので、$p = -1$

$2q = 1 - 2(-1) = 3$ より、$q = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

問題2：

(ア) $a < -1$ のとき、$x = -1$ で最大値 $2a$

(イ) $-1 \le a \le 2$ のとき、$x = a$ で最大値 $a^2 + 4a + 1$

(ウ) $2 < a$ のとき、$x = 2$ で最大値 $8a - 3$

問題3：

(1) $t \ge -1$

(2) 最小値: $7$ ($x = 1$ のとき)、最大値: なし

問題4：

$p = -1$, $q = \frac{3}{2}$