空間の点 $P(p_1, p_2, p_3)$ を点 $Q(q_1, q_2, q_3)$ に移す一次変換 $f$ があり、以下の方程式で定義されます。 $q_1 = p_2 + 2p_3$ $q_2 = p_1 + 2p_3$ $q_3 = p_1 + p_2$ 以下の3つの問いに答えます。 (1) $f$ を表す行列 $A$ を求めます。 (2) $f$ の逆変換 $f^{-1}$ を表す行列、すなわち行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。 (3) $f$ によって点 $Q(3, 2, 1)$ に移される元の点 $P(p_1, p_2, p_3)$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

空間の点 $P(p_1, p_2, p_3)$ を点 $Q(q_1, q_2, q_3)$ に移す一次変換 $f$ があり、以下の方程式で定義されます。

$q_1 = p_2 + 2p_3$

$q_2 = p_1 + 2p_3$

$q_3 = p_1 + p_2$

以下の3つの問いに答えます。

(1) $f$ を表す行列 $A$ を求めます。

(2) $f$ の逆変換 $f^{-1}$ を表す行列、すなわち行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

(3) $f$ によって点 $Q(3, 2, 1)$ に移される元の点 $P(p_1, p_2, p_3)$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の求め方

一次変換 $f$ は、行列 $A$ を用いて次のように表現できます。

$\begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}$

与えられた方程式から、

$q_1 = 0p_1 + 1p_2 + 2p_3$

$q_2 = 1p_1 + 0p_2 + 2p_3$

$q_3 = 1p_1 + 1p_2 + 0p_3$

したがって、行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ の求め方

行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

拡大行列 $(A | E)$ を作ります。

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

行を入れ替えて、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から1行目を引いて、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から2行目を引いて、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を-4で割って、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}$

1行目から3行目の2倍を引いて、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}$

2行目から3行目の2倍を引いて、

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix}$

したがって、

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/4 & 1/4 & -1/4 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

(3) 点 $P(p_1, p_2, p_3)$ の座標の求め方

$Q(3, 2, 1)$ に移される元の点 $P(p_1, p_2, p_3)$ を求めるには、$A^{-1}$ を用いて以下のように計算します。

$\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -6 + 4 + 2 \\ 6 - 4 + 2 \\ 3 + 2 - 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、$P(0, 1, 1)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

(3) $P(0, 1, 1)$