数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$ および漸化式 $na_{n+1} = (n+1)a_n + 2$ で定義されている。このとき、以下の問いに答える。 (1) $b_n = \frac{a_n}{n}$ とおくとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項とその極限を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 3$ および漸化式 $na_{n+1} = (n+1)a_n + 2$ で定義されている。このとき、以下の問いに答える。

(1) $b_n = \frac{a_n}{n}$ とおくとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項とその極限を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $na_{n+1} = (n+1)a_n + 2$ の両辺を $n(n+1)$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + \frac{2}{n(n+1)}$

ここで $b_n = \frac{a_n}{n}$ とおくと、

$b_{n+1} = b_n + \frac{2}{n(n+1)}$

$b_{n+1} = b_n + 2(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

数列 $\{b_n\}$ は階差数列であり、$b_1 = \frac{a_1}{1} = \frac{3}{1} = 3$ なので、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

$b_n = 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

$b_n = 3 + 2(1 - \frac{1}{n})$

$b_n = 3 + 2 - \frac{2}{n} = 5 - \frac{2}{n}$

$b_n = \frac{5n - 2}{n}$

(2) $b_n = \frac{a_n}{n}$ より $a_n = n b_n$ であるから、

$a_n = n(\frac{5n - 2}{n}) = 5n - 2$

数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = 5n - 2$ である。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (5n - 2) = \infty$

3. 最終的な答え

(1) $b_n = \frac{5n - 2}{n}$

(2) $a_n = 5n - 2$, $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$