長さが $x$ m のロープがあり、そのロープを使って囲まれた図形を作る。その図形の面積を $y$ m$^2$ とする。面積 $y$ が最大になるときの $x$ の値を求めよ。ただし、図形の形状は不明。

1. 問題の内容

長さが $x$ m のロープがあり、そのロープを使って囲まれた図形を作る。その図形の面積を $y$ m$^2$ とする。面積 $y$ が最大になるときの $x$ の値を求めよ。ただし、図形の形状は不明。

2. 解き方の手順

問題文からは、ロープの全長が不明であるため、ロープの全長を $L$ m と仮定する。また、最も一般的な形状である長方形を仮定して考える。長方形の一辺の長さを $x$ m とすると、もう一辺の長さは $\frac{L-2x}{2}$ m となる。

長方形の面積 $y$ は、

$y = x \cdot \frac{L-2x}{2} = \frac{Lx - 2x^2}{2} = -\frac{2}{2}x^2 + \frac{L}{2}x = -x^2 + \frac{L}{2}x$

この2次関数を平方完成すると、

$y = -(x^2 - \frac{L}{2}x) = -(x^2 - \frac{L}{2}x + (\frac{L}{4})^2) + (\frac{L}{4})^2 = -(x-\frac{L}{4})^2 + \frac{L^2}{16}$

これは上に凸の放物線であり、$x = \frac{L}{4}$ のとき、$y$ は最大値 $\frac{L^2}{16}$ をとる。

もし形状が正方形であるならば、$4x = L$ より、$x = \frac{L}{4}$となる。

問題文の情報が不十分なため、$L$が不明である。

面積が最大となる図形は一般的に円である。しかし、円の場合、ロープの長さ $L$ = $2 \pi r$ となり、半径 $r = \frac{L}{2\pi}$。面積 $y$ は $y = \pi r^2 = \pi (\frac{L}{2\pi})^2 = \frac{L^2}{4\pi}$ 。この場合、$x$ はロープの長さではなく、何を表すのか不明。

もし問題文が「周の長さが一定の長方形の面積が最大になる時の、長方形の一辺の長さを求めよ」ということであれば、周長を $L$ としたとき、一辺の長さを $x$ とすると、もう一辺の長さは $\frac{L-2x}{2}$ となる。面積 $y$ は、

$y = x \cdot \frac{L-2x}{2} = \frac{Lx-2x^2}{2} = -x^2 + \frac{L}{2}x$

これを最大にするには、平方完成して、$y = -(x - \frac{L}{4})^2 + \frac{L^2}{16}$。 よって、$x = \frac{L}{4}$。これは正方形の場合。

元の問題文が不完全なため、ロープの長さを4 mと仮定すると$L=4$となる。

このとき、$x = \frac{4}{4} = 1$

3. 最終的な答え

問題文が不完全であり、$x$ がロープの長さを分割した一部を示すのか、あるいは、正方形の一辺の長さを表すのかが不明。

ロープの全長を$L$と仮定すると、$x = \frac{L}{4}$ が答えとなる。

もし、$L=4$と仮定するなら、$x = 1$。