連続する3つの整数があり、最小の数を $x$ とする。 (1) 最小の数の平方と中央の数の平方の和を、$x$ を用いて表し、$ax^2 + bx + 1$ の形にするとき、$a$ と $b$ を求める。 (2) 最小の数の平方と中央の数の平方の和は、最大の数の平方より21だけ大きい。このとき、連続する3つの整数の組が2組あり、それぞれの組の最小の整数を小さい順に答える。

1. 問題の内容

連続する3つの整数があり、最小の数を $x$ とする。

(1) 最小の数の平方と中央の数の平方の和を、$x$ を用いて表し、$ax^2 + bx + 1$ の形にするとき、$a$ と $b$ を求める。

(2) 最小の数の平方と中央の数の平方の和は、最大の数の平方より21だけ大きい。このとき、連続する3つの整数の組が2組あり、それぞれの組の最小の整数を小さい順に答える。

2. 解き方の手順

(1)

連続する3つの整数は $x, x+1, x+2$ と表せる。

最小の数の平方と中央の数の平方の和は $x^2 + (x+1)^2$ である。

$x^2 + (x+1)^2 = x^2 + x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + 2x + 1$

したがって、$ax^2 + bx + 1$ の形にすると、$a=2$, $b=2$ となる。

(2)

最小の数の平方と中央の数の平方の和は、最大の数の平方より21だけ大きいので、$x^2 + (x+1)^2 = (x+2)^2 + 21$ が成り立つ。

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x + 4 + 21$

$2x^2 + 2x + 1 = x^2 + 4x + 25$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

$(x - 6)(x + 4) = 0$

$x = 6, -4$

$x=6$ のとき、連続する3つの整数は $6, 7, 8$ である。

$x=-4$ のとき、連続する3つの整数は $-4, -3, -2$ である。

それぞれの組の最小の整数は $-4$ と $6$ である。

小さい順に並べると、$-4, 6$ となる。

3. 最終的な答え

(1)

ア: 2

イ: 2

(2)

ウ: -4

エ: 6