与えられた2次関数 $y = x^2 - 4x + 3$ (定義域は $0 \le x \le 3$) について、平方完成された形$y = (x-p)^2 + q$を求め、グラフを描き、定義域における最大値と最小値を求める問題です。ただし、グラフを描く部分は省略します。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = x^2 - 4x + 3$ (定義域は $0 \le x \le 3$) について、平方完成された形$y = (x-p)^2 + q$を求め、グラフを描き、定義域における最大値と最小値を求める問題です。ただし、グラフを描く部分は省略します。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4x + 3$

$y = (x^2 - 4x) + 3$

$y = (x^2 - 4x + 4 - 4) + 3$

$y = (x - 2)^2 - 4 + 3$

$y = (x - 2)^2 - 1$

(2) $x=0$のときの$y$の値を求める。

$y = (0 - 2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

(3) $x=3$のときの$y$の値を求める。

$y = (3 - 2)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

(4) 定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める。

平方完成された式 $y = (x - 2)^2 - 1$ より、頂点の座標は $(2, -1)$ です。

$x = 2$ は定義域に含まれるため、$x = 2$ のとき最小値 $-1$ をとります。

定義域の端点である $x = 0$ と $x = 3$ における $y$ の値を比較します。

$x = 0$ のとき $y = 3$

$x = 3$ のとき $y = 0$

したがって、$x = 0$ のとき最大値 $3$ をとります。

3. 最終的な答え

- $y = (x - 2)^2 - 1$

- $x = 0$ のとき $y = 3$

- $x = 3$ のとき $y = 0$

- 最大値：$x=0$のとき、$3$

- 最小値：$x=2$のとき、$-1$