与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。 行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 2 & -3 \\ 1 & 3 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
2025/7/17
1. 問題の内容
与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。
行列は次の通りです。
$\begin{pmatrix}
0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
1 & 0 & -2 & 2 & -3 \\
1 & 3 & 1 & 2 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0 & -1
\end{pmatrix}$
2. 解き方の手順
行列式を計算するために、いくつかの行基本変形を使って行列を簡略化します。
1. 1行目と2行目を入れ替えます。このとき、行列式の符号が反転します。
$\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 0 & -2 & 2 & -3 \\
1 & 3 & 1 & 2 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0 & -1
\end{pmatrix}$
符号は -1
2. 3行目に1行目を足します。
$\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & -3 \\
1 & 3 & 1 & 2 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0 & -1
\end{pmatrix}$
3. 4行目に1行目を足します。
$\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & -3 \\
0 & 3 & 1 & 0 & -2 \\
0 & -1 & -1 & 0 & -1
\end{pmatrix}$
4. 2行目、4行目、5行目を並べ替えます。2行目と5行目を交換して
$\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & -3 \\
0 & 3 & 1 & 0 & -2 \\
0 & -2 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}$
符号は (-1)*(-1) = 1
5. 4行目に2行目の3倍を足します。
$\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & -3 \\
0 & 0 & -2 & 0 & -5 \\
0 & -2 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}$
6. 5行目に2行目の-2倍を足します。
$\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & -3 \\
0 & 0 & -2 & 0 & -5 \\
0 & 0 & 4 & 2 & 3
\end{pmatrix}$
7. 4行目から3行目を引きます。
$\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 4 & 2 & 3
\end{pmatrix}$
8. 5行目に3行目の2倍を足します。
$\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 2 & -3
\end{pmatrix}$
9. 4行目と5行目を入れ替えます。
$\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & -1 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 2 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -2
\end{pmatrix}$
符号は (-1)*1 = -1
行列式は対角成分の積です。
元の行列式の符号は -1倍されているので、元の行列式は -(-8) = 8です。
3. 最終的な答え
8