画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の6つの問題です。 (1) $9x^2 - y^2 + 2y - 1$ を因数分解する。 (2) $x = 2 + \sqrt{5}$, $y = 2 - \sqrt{5}$ のとき、$x^2 - xy + y^2$ の値を求める。 (3) ある整数 $x$ に 1 を加えて 3 倍した数は、$x$ を 5 倍して 8 を引いた数より小さい。そのような整数 $x$ のうち、最も小さい整数を求める。 (4) ある整数 $x$ を 4 倍した数と、$x$ から 5 を引いて 6 倍した数を加えた数が、10 以上 50 以下であるような整数 $x$ の個数を求める。 (5) $|x - 5| < 3$ を満たす整数 $x$ の個数を求める。 (6) 実数全体を全体集合とし、その部分集合 A, B を $A = \{x | x \le -1 \text{ or } 8 < x \}$, $B = \{x | x > 3 \}$ とするとき、集合 $A \cup B^c$ に含まれる整数の個数を求める。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の6つの問題です。

(1) $9x^2 - y^2 + 2y - 1$ を因数分解する。

(2) $x = 2 + \sqrt{5}$, $y = 2 - \sqrt{5}$ のとき、$x^2 - xy + y^2$ の値を求める。

(3) ある整数 $x$ に 1 を加えて 3 倍した数は、$x$ を 5 倍して 8 を引いた数より小さい。そのような整数 $x$ のうち、最も小さい整数を求める。

(4) ある整数 $x$ を 4 倍した数と、$x$ から 5 を引いて 6 倍した数を加えた数が、10 以上 50 以下であるような整数 $x$ の個数を求める。

(5) $|x - 5| < 3$ を満たす整数 $x$ の個数を求める。

(6) 実数全体を全体集合とし、その部分集合 A, B を $A = \{x | x \le -1 \text{ or } 8 < x \}$, $B = \{x | x > 3 \}$ とするとき、集合 $A \cup B^c$ に含まれる整数の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解：

$9x^2 - y^2 + 2y - 1 = (3x)^2 - (y^2 - 2y + 1) = (3x)^2 - (y - 1)^2$

$= (3x + (y - 1))(3x - (y - 1)) = (3x + y - 1)(3x - y + 1)$

(2) 代入計算：

$x^2 - xy + y^2 = (x + y)^2 - 3xy$

$x + y = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 4$

$xy = (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 4 - 5 = -1$

$x^2 - xy + y^2 = 4^2 - 3(-1) = 16 + 3 = 19$

(3) 不等式：

$3(x + 1) < 5x - 8$

$3x + 3 < 5x - 8$

$11 < 2x$

$x > \frac{11}{2} = 5.5$

最も小さい整数は 6。

(4) 不等式：

$4x + 6(x - 5)$ が 10 以上 50 以下。

$10 \le 4x + 6x - 30 \le 50$

$10 \le 10x - 30 \le 50$

$40 \le 10x \le 80$

$4 \le x \le 8$

整数 $x$ は 4, 5, 6, 7, 8 の 5 個。

(5) 絶対値不等式：

$|x - 5| < 3$

$-3 < x - 5 < 3$

$2 < x < 8$

整数 $x$ は 3, 4, 5, 6, 7 の 5 個。

(6) 集合：

$A = \{x | x \le -1 \text{ or } 8 < x \}$

$B = \{x | x > 3 \}$

$B^c = \{x | x \le 3 \}$

$A \cup B^c = \{x | x \le 3 \text{ or } 8 < x \}$

$A \cup B^c$ に含まれる整数は $x \le 3$ または $8 < x$ を満たす整数。

$A \cup B^c = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 9, 10, 11, ...\}$

補集合 $A \cup B^c$ を求める問題。$(A \cup B^c)^c = A^c \cap B$

$A^c = \{x | -1 < x \le 8 \}$

$B = \{x | x > 3 \}$

$A^c \cap B = \{x | 3 < x \le 8 \}$

$(A \cup B^c)^c$ に含まれる整数は 4, 5, 6, 7, 8 の 5個。

問題は、$A\cup B^c$ に含まれる整数の個数なので、

$A\cup B^c = \{x \mid x \le 3\} \cup \{x \mid x > 8 \}$となり、これは「$A \cup B^c$に含まれない整数の個数」を求める問題ではない。

$A\cup B^c = \mathbb{R} \setminus (3,8]$ なので、$x\le 3$または$x >8$を満たす整数は無数に存在するため、問題文がおかしい。

問題文を$A \cap B^c$に含まれる整数と解釈した場合。

$A \cap B^c =\{ x \mid (x\le -1 \text{ or } 8<x ) \text{ and } x\le 3 \} = \{ x \mid x \le -1 \}$

$x\le -1$を満たす整数の個数は、制限がないので、$-\infty$となるのでこれも不正。

3. 最終的な答え

(1) $(3x + y - 1)(3x - y + 1)$

(2) 19

(3) 6

(4) 5

(5) 5

(6) 問題文が誤っているため、解なし。

問題文を修正した場合$A^c \cap B = \{x | 3 < x \le 8 \}$の整数解は、4,5,6,7,8の5個。