問題は、与えられた数列の一般項を求める問題です。数列は3つあります。 (1) -1, 0, 2, 5, 9, ... (2) 3, 2, -2, -11, -27, ... (3) 5, 7, 11, 19, 35, ...

1. 問題の内容

問題は、与えられた数列の一般項を求める問題です。数列は3つあります。

(1) -1, 0, 2, 5, 9, ...

(2) 3, 2, -2, -11, -27, ...

(3) 5, 7, 11, 19, 35, ...

2. 解き方の手順

(1) 階差数列を考える：

与えられた数列の階差数列は、

1, 2, 3, 4, ... となります。

これは初項が1、公差が1の等差数列です。

この階差数列の第n項は、$n$です。

元の数列の一般項を$a_n$とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = -1 + \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = \frac{n^2 - n - 2}{2} = \frac{(n-2)(n+1)}{2}$

(2) 階差数列を考える：

与えられた数列の階差数列は、

-1, -4, -9, -16, ... となります。

これは $-1^2, -2^2, -3^2, -4^2, ...$と表現できます。

よって、階差数列の第n項は、$-n^2$です。

元の数列の一般項を$a_n$とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} -k^2 = 3 - \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 3 - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$a_n = 3 - \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{18 - (n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{18 - (2n^3 - 3n^2 + n)}{6} = \frac{-2n^3 + 3n^2 - n + 18}{6}$

(3) 階差数列を考える：

与えられた数列の階差数列は、

2, 4, 8, 16, ... となります。

これは初項が2、公比が2の等比数列です。

この階差数列の第n項は、$2^n$です。

元の数列の一般項を$a_n$とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 5 + \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 5 + 2^n - 2 = 2^n + 3$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n^2 - n - 2}{2}$

(2) $a_n = \frac{-2n^3 + 3n^2 - n + 18}{6}$

(3) $a_n = 2^n + 3$