画像に書かれた次の5つの和を計算する問題です。ただし、画像が不鮮明なため、すべての問題の総和範囲（下端と上端）は1からnであると仮定して計算します。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5k)$ (3) $\sum_{i=1}^{n} (i^2 + 3i + 1)$ (4) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^3$ (5) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(2k+3)$

1. 問題の内容

画像に書かれた次の5つの和を計算する問題です。ただし、画像が不鮮明なため、すべての問題の総和範囲（下端と上端）は1からnであると仮定して計算します。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5k)$

(3) $\sum_{i=1}^{n} (i^2 + 3i + 1)$

(4) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^3$

(5) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(2k+3)$

2. 解き方の手順

それぞれの和を、$\sum$の性質を利用して分解し、公式を用いて計算します。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1) = 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 2\frac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n^2 + 2n$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 5\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 15n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+15)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+16)}{6} = \frac{n(n+1)(n+8)}{3}$

(3) $\sum_{i=1}^{n} (i^2 + 3i + 1) = \sum_{i=1}^{n} i^2 + 3\sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} 1 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1) + 6n}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+9) + 6n}{6} = \frac{n(n+1)(2n+10) + 6n}{6} = \frac{n(2(n+1)(n+5)+6)}{6} = \frac{n(2(n^2+6n+5)+6)}{6} = \frac{n(2n^2 + 12n + 16)}{6} = \frac{n(n^2 + 6n + 8)}{3} = \frac{n(n+2)(n+4)}{3}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)^3 = \sum_{k=1}^{n} (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) = 8\sum_{k=1}^{n} k^3 + 12\sum_{k=1}^{n} k^2 + 6\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 8(\frac{n(n+1)}{2})^2 + 12\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 6\frac{n(n+1)}{2} + n = 2n^2(n+1)^2 + 2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) + n = 2n^2(n^2+2n+1) + 2n(2n^2+3n+1) + 3n^2 + 3n + n = 2n^4 + 4n^3 + 2n^2 + 4n^3 + 6n^2 + 2n + 3n^2 + 4n = 2n^4 + 8n^3 + 11n^2 + 6n = n(2n^3 + 8n^2 + 11n + 6)$

(5) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)(2k+3) = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 3k - 2k - 3) = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k - 3) = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - 3\sum_{k=1}^{n} 1 = 2\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 3n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2} - 3n = \frac{2n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - 18n}{6} = \frac{n(2(n+1)(2n+1) + 3(n+1) - 18)}{6} = \frac{n(2(2n^2+3n+1) + 3n + 3 - 18)}{6} = \frac{n(4n^2 + 6n + 2 + 3n - 15)}{6} = \frac{n(4n^2 + 9n - 13)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $n^2 + 2n$

(2) $\frac{n(n+1)(n+8)}{3}$

(3) $\frac{n(n+2)(n+4)}{3}$

(4) $n(2n^3 + 8n^2 + 11n + 6)$

(5) $\frac{n(4n^2 + 9n - 13)}{6}$