等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を、与えられた条件から求めます。 (1) 初項が3、公比が5のとき (2) 初項が7、公比が-2のとき (3) 初項が-3、公比が3のとき (4) 初項が5、公比が $\frac{1}{2}$ のとき (5) 公比が2、第4項が24のとき (6) 初項が3、第4項が192のとき（公比は実数） (7) 第2項が48、第4項が12のとき

はい、承知いたしました。与えられた等比数列の問題を解きます。

1. 問題の内容

等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を、与えられた条件から求めます。

(1) 初項が3、公比が5のとき

(2) 初項が7、公比が-2のとき

(3) 初項が-3、公比が3のとき

(4) 初項が5、公比が $\frac{1}{2}$ のとき

(5) 公比が2、第4項が24のとき

(6) 初項が3、第4項が192のとき（公比は実数）

(7) 第2項が48、第4項が12のとき

2. 解き方の手順

等比数列の一般項の公式は $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ です。ここで、$a_n$ は第 $n$ 項、$a_1$ は初項、$r$ は公比です。

(1) $a_1 = 3$, $r = 5$ なので、一般項は

$a_n = 3 \cdot 5^{n-1}$

(2) $a_1 = 7$, $r = -2$ なので、一般項は

$a_n = 7 \cdot (-2)^{n-1}$

(3) $a_1 = -3$, $r = 3$ なので、一般項は

$a_n = -3 \cdot 3^{n-1} = -3^n$

(4) $a_1 = 5$, $r = \frac{1}{2}$ なので、一般項は

$a_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{5}{2^{n-1}}$

(5) $r = 2$, $a_4 = 24$ なので、$a_4 = a_1 \cdot r^3$ より、$24 = a_1 \cdot 2^3 = 8a_1$。よって $a_1 = \frac{24}{8} = 3$。

したがって、一般項は $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

(6) $a_1 = 3$, $a_4 = 192$ なので、$a_4 = a_1 \cdot r^3$ より、$192 = 3 \cdot r^3$。よって $r^3 = \frac{192}{3} = 64$。したがって $r = \sqrt[3]{64} = 4$。

一般項は $a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$

(7) $a_2 = 48$, $a_4 = 12$ なので、$a_2 = a_1 \cdot r = 48$, $a_4 = a_1 \cdot r^3 = 12$。

$\frac{a_4}{a_2} = \frac{a_1 \cdot r^3}{a_1 \cdot r} = r^2 = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$。

よって、$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$。

$r = \frac{1}{2}$ のとき、$a_1 = \frac{48}{r} = \frac{48}{\frac{1}{2}} = 96$。

したがって、$a_n = 96 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$r = -\frac{1}{2}$ のとき、$a_1 = \frac{48}{r} = \frac{48}{-\frac{1}{2}} = -96$。

したがって、$a_n = -96 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3 \cdot 5^{n-1}$

(2) $a_n = 7 \cdot (-2)^{n-1}$

(3) $a_n = -3^n$

(4) $a_n = \frac{5}{2^{n-1}}$

(5) $a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

(6) $a_n = 3 \cdot 4^{n-1}$

(7) $a_n = 96 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ または $a_n = -96 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$