与えられた数学の問題を解きます。具体的には、以下の7つの問題を解きます。 (1) $(-2xy^2)^2$ の計算 (2) $|\sqrt{5} - 2|$ の絶対値記号を外す (3) $\sqrt{(-3)^2}$ の値 (4) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ の分母の有理化 (5) $3x - 4 \ge 5x + 6$ の解 (6) 連立不等式 $\begin{cases} 6x + 9 > 2x + 1 \\ 3x - 7 \ge 8x - 12 \end{cases}$ の解 (7) $x$ は実数とするとき、「$x^2=11$」は「$x = \sqrt{11}$」であるための何条件か

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解きます。具体的には、以下の7つの問題を解きます。

(1) $(-2xy^2)^2$ の計算

(2) $|\sqrt{5} - 2|$ の絶対値記号を外す

(3) $\sqrt{(-3)^2}$ の値

(4) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ の分母の有理化

(5) $3x - 4 \ge 5x + 6$ の解

(6) 連立不等式 $\begin{cases} 6x + 9 > 2x + 1 \\ 3x - 7 \ge 8x - 12 \end{cases}$ の解

(7) $x$ は実数とするとき、「$x^2=11$」は「$x = \sqrt{11}$」であるための何条件か

2. 解き方の手順

(1) $(-2xy^2)^2 = (-2)^2x^2(y^2)^2 = 4x^2y^4$

(2) $\sqrt{5} > 2$ であるから、$\sqrt{5} - 2 > 0$。よって、 $|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$

(3) $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$

(4) 分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3} - 1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

(5) $3x - 4 \ge 5x + 6$ を解きます。

$-2x \ge 10$

$x \le -5$

(6) 連立不等式 $\begin{cases} 6x + 9 > 2x + 1 \\ 3x - 7 \ge 8x - 12 \end{cases}$ を解きます。

一つ目の不等式: $4x > -8 \implies x > -2$

二つ目の不等式: $-5x \ge -5 \implies x \le 1$

よって、$-2 < x \le 1$

(7) $x^2 = 11$ のとき、$x = \pm \sqrt{11}$。

$x = \sqrt{11}$ のとき、$x^2 = 11$。

したがって、$x = \sqrt{11}$ は $x^2 = 11$ であるための十分条件。

$x = -\sqrt{11}$ ならば、$x = \sqrt{11}$ ではないので必要条件ではない。

したがって、十分条件であるが必要条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) $4x^2y^4$

(2) $\sqrt{5} - 2$

(3) $3$

(4) $2 - \sqrt{3}$

(5) $x \le -5$

(6) $-2 < x \le 1$

(7) 十分条件であるが必要条件でない