与えられた等式 $x^3 + 3x^2 + 4x + a = (x^2 + bx + 2)(x + c)$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x^3 + 3x^2 + 4x + a = (x^2 + bx + 2)(x + c)$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

$(x^2 + bx + 2)(x + c) = x^3 + cx^2 + bx^2 + bcx + 2x + 2c = x^3 + (b+c)x^2 + (bc+2)x + 2c$

よって、

$x^3 + 3x^2 + 4x + a = x^3 + (b+c)x^2 + (bc+2)x + 2c$

この等式が恒等式となるためには、各項の係数が一致する必要があります。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$b + c = 3$

$bc + 2 = 4$

$a = 2c$

2番目の式から、$bc = 2$ が得られます。

$b+c = 3$ と $bc = 2$ を満たす $b$ と $c$ を求めるために、$b = 3-c$ を $bc = 2$ に代入すると、

$(3-c)c = 2$

$3c - c^2 = 2$

$c^2 - 3c + 2 = 0$

$(c-1)(c-2) = 0$

よって、$c = 1$ または $c = 2$ です。

(i) $c = 1$ のとき、 $b = 3 - c = 3 - 1 = 2$。 $a = 2c = 2(1) = 2$。

(ii) $c = 2$ のとき、 $b = 3 - c = 3 - 2 = 1$。 $a = 2c = 2(2) = 4$。

3. 最終的な答え

(i) $a = 2, b = 2, c = 1$

(ii) $a = 4, b = 1, c = 2$