二次方程式 $x^2 - (m-4)x + m - 1 = 0$ が重解を持つような定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - (m-4)x + m - 1 = 0$ が重解を持つような定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。

2. 解き方の手順

二次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ となることです。

まず、与えられた二次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = (-(m-4))^2 - 4(1)(m-1)$

$D = (m-4)^2 - 4(m-1)$

$D = m^2 - 8m + 16 - 4m + 4$

$D = m^2 - 12m + 20$

重解を持つ条件 $D = 0$ より、

$m^2 - 12m + 20 = 0$

この $m$ に関する二次方程式を解きます。

$(m - 2)(m - 10) = 0$

したがって、$m = 2$ または $m = 10$ です。

(i) $m = 2$ のとき

二次方程式は $x^2 - (2-4)x + 2 - 1 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

重解は $x = -1$

(ii) $m = 10$ のとき

二次方程式は $x^2 - (10-4)x + 10 - 1 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

重解は $x = 3$

したがって、$m = 2$ のとき重解は $x = -1$、$m = 10$ のとき重解は $x = 3$

3. 最終的な答え

$m = 2$ のとき、重解 $x = -1$

$m = 10$ のとき、重解 $x = 3$