線形変換 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ が与えられており、$p = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}$, $q = \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix}$, $q = f(p) = a \times p$ (ここで $\times$ は外積)である。ただし、$a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。 (1) 外積 $a \times p$ を求める。 (2) $f$ を表す行列 $A$ を求める。 (3) 逆変換 $f^{-1}$ が存在しないこと、つまり逆行列 $A^{-1}$ が存在しないことを示す。ヒント：$|A| = 0$ かどうか確かめる。

1. 問題の内容

線形変換 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ が与えられており、$p = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}$, $q = \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix}$, $q = f(p) = a \times p$ (ここで $\times$ は外積)である。ただし、$a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。

(1) 外積 $a \times p$ を求める。

(2) $f$ を表す行列 $A$ を求める。

(3) 逆変換 $f^{-1}$ が存在しないこと、つまり逆行列 $A^{-1}$ が存在しないことを示す。ヒント：$|A| = 0$ かどうか確かめる。

2. 解き方の手順

(1) 外積 $a \times p$ を計算する。

$a \times p = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2p_3 - a_3p_2 \\ a_3p_1 - a_1p_3 \\ a_1p_2 - a_2p_1 \end{pmatrix}$

$a = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ なので、

$a \times p = \begin{pmatrix} 2p_3 - 1p_2 \\ 1p_1 - 3p_3 \\ 3p_2 - 2p_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -p_2 + 2p_3 \\ p_1 - 3p_3 \\ -2p_1 + 3p_2 \end{pmatrix}$

(2) $f$ を表す行列 $A$ を求める。

$\begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -p_2 + 2p_3 \\ p_1 - 3p_3 \\ -2p_1 + 3p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}$

したがって、$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

(3) 行列 $A$ の行列式を計算して、逆行列が存在しないことを示す。

$|A| = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 0(0 - (-9)) - (-1)(0 - 6) + 2(3 - 0) = 0 - 6 + 6 = 0$

$|A| = 0$ なので、$A^{-1}$ は存在しない。したがって、逆変換 $f^{-1}$ は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $a \times p = \begin{pmatrix} -p_2 + 2p_3 \\ p_1 - 3p_3 \\ -2p_1 + 3p_2 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $|A| = 0$ であり、逆変換 $f^{-1}$ は存在しない。