与えられたベクトルが一次独立かどうかを判定する問題です。具体的には、以下の3つの場合にベクトルが一次独立かどうかを調べます。 (4) $a = (2, -1, 0), b = (1, 0, 3), c = (-2, 1, 0)$ (5) $a = (2, -1, 0), b = (1, 0, 3), c = (-2, 1, 1)$ (6) $a = (2, -1, 0), b = (1, 0, 3), c = (-2, 1, 1), d = (1, 1, 1)$

1. 問題の内容

与えられたベクトルが一次独立かどうかを判定する問題です。具体的には、以下の3つの場合にベクトルが一次独立かどうかを調べます。

(4) $a = (2, -1, 0), b = (1, 0, 3), c = (-2, 1, 0)$

(5) $a = (2, -1, 0), b = (1, 0, 3), c = (-2, 1, 1)$

(6) $a = (2, -1, 0), b = (1, 0, 3), c = (-2, 1, 1), d = (1, 1, 1)$

2. 解き方の手順

ベクトルが一次独立であるとは、それらの線形結合がゼロベクトルになるのが、全ての係数がゼロである場合に限るということです。つまり、ベクトル $v_1, v_2, ..., v_n$ が一次独立であるとは、スカラー $c_1, c_2, ..., c_n$ に対して、

$c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = 0$ が成り立つのは、$c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$ のときのみであるということです。

この問題を解くには、与えられたベクトルを列ベクトルとして並べた行列の行列式を計算することで判定できます。行列式が0でなければ一次独立であり、行列式が0ならば一次従属です。

(4) ベクトル $a, b, c$ に対して、

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 2(0 - 3) - 1(0 - 0) - 2(-3 - 0) = -6 + 6 = 0$

よって、一次従属です。

(5) ベクトル $a, b, c$ に対して、

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 2(0 - 3) - 1(-1 - 0) - 2(-3 - 0) = -6 + 1 + 6 = 1 \neq 0$

よって、一次独立です。

(6) 4つのベクトルは3次元空間では必ず一次従属になります。なぜなら、3次元空間の基底は3つのベクトルで構成され、4つ以上のベクトルは必ず他のベクトルで表現できるからです。

$a, b, c, d$ に対して、

$\alpha a + \beta b + \gamma c + \delta d = 0$

となる $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ が少なくとも一つ存在します。

$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

よって、一次従属です。

3. 最終的な答え

(4) 一次従属

(5) 一次独立

(6) 一次従属