$a$を実数とする。二つの直線 $(a+2)x + (a+3)y = 10$ (1) $6x + (2a-1)y = 5$ (2) がある。 (1) 直線(1)は$a$の値にかかわらず定点を通る。この定点の座標を求めよ。 (2) 2直線(1), (2)が平行であるとき、$a$の値を求めよ。 (3) 2直線(1), (2)が垂直であるとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を実数とする。二つの直線

$(a+2)x + (a+3)y = 10$ (1)

$6x + (2a-1)y = 5$ (2)

がある。

(1) 直線(1)は$a$の値にかかわらず定点を通る。この定点の座標を求めよ。

(2) 2直線(1), (2)が平行であるとき、$a$の値を求めよ。

(3) 2直線(1), (2)が垂直であるとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直線(1)の式を変形すると

$a(x+y) + 2x + 3y = 10$

この直線が$a$の値に関わらず定点を通るためには

$x+y = 0$

$2x+3y = 10$

を同時に満たす必要がある。

上の式から$y = -x$なので、下の式に代入すると

$2x - 3x = 10$

$-x = 10$

$x = -10$

$y = 10$

よって、求める定点の座標は$(-10, 10)$

(2)

直線(1)の傾きは$-\frac{a+2}{a+3}$、直線(2)の傾きは$-\frac{6}{2a-1}$である。

2直線が平行であるためには、傾きが等しい必要があるから

$-\frac{a+2}{a+3} = -\frac{6}{2a-1}$

$\frac{a+2}{a+3} = \frac{6}{2a-1}$

$(a+2)(2a-1) = 6(a+3)$

$2a^2 -a + 4a - 2 = 6a + 18$

$2a^2 + 3a - 2 = 6a + 18$

$2a^2 -3a - 20 = 0$

$(2a+5)(a-4) = 0$

$a = -\frac{5}{2}, 4$

$a = -\frac{5}{2}$のとき、直線(1)は$-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y = 10$となり、$-x+y=20$

直線(2)は$6x - 6y = 5$

これらは平行でないので、$a = -\frac{5}{2}$は解ではない。

$a = 4$のとき、直線(1)は$6x + 7y = 10$

直線(2)は$6x + 7y = 5$

これらは平行なので、$a = 4$は解である。

したがって、$a = 4$

(3)

2直線が垂直であるためには、傾きの積が-1になる必要がある。

$(-\frac{a+2}{a+3})(-\frac{6}{2a-1}) = -1$

$\frac{6(a+2)}{(a+3)(2a-1)} = -1$

$6(a+2) = -(a+3)(2a-1)$

$6a+12 = -(2a^2-a+6a-3)$

$6a+12 = -2a^2+a-6a+3$

$6a+12 = -2a^2-5a+3$

$2a^2+11a+9 = 0$

$(2a+9)(a+1) = 0$

$a = -1, -\frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(-10, 10)$

(2) $a = 4$

(3) $a = -1, -\frac{9}{2}$