放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ を、$x$ 軸方向に $-5$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したときの、移動後の放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x + 3$ を、$x$ 軸方向に $-5$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したときの、移動後の放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y - q = f(x - p)$

となります。

今回の問題では、$y = 2x^2 - 4x + 3$ を $x$ 軸方向に $-5$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動するので、

$x$ を $x - (-5) = x + 5$ に、

$y$ を $y - 2$ に置き換えます。

したがって、移動後の放物線の方程式は、

$y - 2 = 2(x + 5)^2 - 4(x + 5) + 3$

となります。

これを整理します。

$y - 2 = 2(x^2 + 10x + 25) - 4x - 20 + 3$

$y - 2 = 2x^2 + 20x + 50 - 4x - 20 + 3$

$y - 2 = 2x^2 + 16x + 33$

$y = 2x^2 + 16x + 35$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 + 16x + 35$