$a$は定数とする。関数 $f(x) = -ax^2 - 2ax + 6 - a$ に対して、 (ア) $a > 0$ のとき、$y = f(x)$ のグラフについて、軸の方程式と頂点の座標を求める。 (イ) $|x| \le 3$ を解く。 (ウ) $a > 0$ のとき、$|x| \le 3$ における $f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$は定数とする。関数 $f(x) = -ax^2 - 2ax + 6 - a$ に対して、

(ア) $a > 0$ のとき、$y = f(x)$ のグラフについて、軸の方程式と頂点の座標を求める。

(イ) $|x| \le 3$ を解く。

(ウ) $a > 0$ のとき、$|x| \le 3$ における $f(x)$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(ア) $y = f(x) = -ax^2 - 2ax + 6 - a$ を平方完成する。

$y = -a(x^2 + 2x) + 6 - a$

$y = -a((x+1)^2 - 1) + 6 - a$

$y = -a(x+1)^2 + a + 6 - a$

$y = -a(x+1)^2 + 6$

よって、$y = -a(x+1)^2 + 6$ より、軸は $x = -1$ であり、頂点の座標は $(-1, 6)$ である。

(イ) $|x| \le 3$ は、$-3 \le x \le 3$ と同値である。

(ウ) $a > 0$ のとき、$f(x) = -a(x+1)^2 + 6$ は上に凸の放物線である。

また、定義域は $-3 \le x \le 3$ である。

軸は $x = -1$ なので、軸は定義域に含まれる。

よって、定義域の両端の $x=-3$ と $x=3$ で最小値を取りうる。

$f(-3) = -a(-3+1)^2 + 6 = -a(-2)^2 + 6 = -4a + 6$

$f(3) = -a(3+1)^2 + 6 = -a(4)^2 + 6 = -16a + 6$

$a > 0$ より、$-4a + 6 > -16a + 6$ である。

したがって、$f(3) = -16a + 6$ が最小値となる。

このとき、$x = 3$ である。

3. 最終的な答え

(ア) 軸の方程式は $x = -1$ であり、頂点の座標は $(-1, 6)$ である。

(イ) $-3 \le x \le 3$

(ウ) $x = 3$ のとき、最小値は $-16a + 6$ である。