(1) $x = \sqrt{3} + \sqrt{7}$, $y = \sqrt{3} - \sqrt{7}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求めなさい。 (2) $a = \sqrt{3} - 4$ のとき、$a^2 - a - 42$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) $x = \sqrt{3} + \sqrt{7}$, $y = \sqrt{3} - \sqrt{7}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求めなさい。

(2) $a = \sqrt{3} - 4$ のとき、$a^2 - a - 42$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2y + xy^2$ を因数分解します。

$x^2y + xy^2 = xy(x+y)$

$x$ と $y$ の値を代入して、$xy$ と $x+y$ を計算します。

$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{7})(\sqrt{3} - \sqrt{7}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = 3 - 7 = -4$

$x+y = (\sqrt{3} + \sqrt{7}) + (\sqrt{3} - \sqrt{7}) = 2\sqrt{3}$

したがって、$x^2y + xy^2 = xy(x+y) = (-4)(2\sqrt{3}) = -8\sqrt{3}$

(2)

$a = \sqrt{3} - 4$ を $a^2 - a - 42$ に代入して計算します。

$a^2 = (\sqrt{3} - 4)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3})(4) + 4^2 = 3 - 8\sqrt{3} + 16 = 19 - 8\sqrt{3}$

$a^2 - a - 42 = (19 - 8\sqrt{3}) - (\sqrt{3} - 4) - 42 = 19 - 8\sqrt{3} - \sqrt{3} + 4 - 42 = 19 + 4 - 42 - 8\sqrt{3} - \sqrt{3} = -19 - 9\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-8\sqrt{3}$

(2) $-19 - 9\sqrt{3}$