与えられた行列式の値を計算する問題です。行列式は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列式の値を計算する問題です。行列式は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

5 & 6 & 7 & 8 \\

9 & 10 & 11 & 12 \\

13 & 14 & 15 & 16

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

この行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列式を簡単にします。まず、2行目から1行目を引く、3行目から1行目を引く、4行目から1行目を引きます。行列式の値は変わりません。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

5-1 & 6-2 & 7-3 & 8-4 \\

9-1 & 10-2 & 11-3 & 12-4 \\

13-1 & 14-2 & 15-3 & 16-4

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

4 & 4 & 4 & 4 \\

8 & 8 & 8 & 8 \\

12 & 12 & 12 & 12

\end{vmatrix}

$$

次に、3行目から2行目を引く、4行目から2行目を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

4 & 4 & 4 & 4 \\

8-4 & 8-4 & 8-4 & 8-4 \\

12-4 & 12-4 & 12-4 & 12-4

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

4 & 4 & 4 & 4 \\

4 & 4 & 4 & 4 \\

8 & 8 & 8 & 8

\end{vmatrix}

$$

次に、4行目から3行目を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

4 & 4 & 4 & 4 \\

4 & 4 & 4 & 4 \\

8-4 & 8-4 & 8-4 & 8-4

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

4 & 4 & 4 & 4 \\

4 & 4 & 4 & 4 \\

4 & 4 & 4 & 4

\end{vmatrix}

$$

ここで、2行目と3行目が同じなので、この行列式の値は0です。

または、2行目から1行目を引き、3行目から2行目を引き、4行目から3行目を引く操作をしても良い。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

5 & 6 & 7 & 8 \\

9 & 10 & 11 & 12 \\

13 & 14 & 15 & 16

\end{vmatrix}

->

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

4 & 4 & 4 & 4 \\

4 & 4 & 4 & 4 \\

4 & 4 & 4 & 4

\end{vmatrix}

$$

この場合、2行目、3行目、4行目が全て等しいので、行列式の値は0となります。

3. 最終的な答え

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