$a+b+c = 4$, $ab+bc+ca = 7$, $abc = 5$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $a^2 + b^2 + c^2$ (2) $a^2b^2c(a+b) + b^2c^2a(b+c) + c^2a^2b(c+a) + 3a^2b^2c^2$ (3) $a^3+b^3+c^3$

はい、承知しました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$a+b+c = 4$, $ab+bc+ca = 7$, $abc = 5$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $a^2 + b^2 + c^2$

(2) $a^2b^2c(a+b) + b^2c^2a(b+c) + c^2a^2b(c+a) + 3a^2b^2c^2$

(3) $a^3+b^3+c^3$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 + b^2 + c^2$ を求める。

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$ の関係を用いる。

$a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)$

与えられた値を代入すると、

$a^2+b^2+c^2 = 4^2 - 2 \times 7 = 16 - 14 = 2$

(2) $a^2b^2c(a+b) + b^2c^2a(b+c) + c^2a^2b(c+a) + 3a^2b^2c^2$ を求める。

与式を因数分解する。

$a^2b^2c(a+b) + b^2c^2a(b+c) + c^2a^2b(c+a) + 3a^2b^2c^2 = abc[ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc]$

$= abc[a^2b+ab^2 + b^2c+bc^2 + c^2a+ca^2 + 3abc]$

$= abc[a^2b+ab^2 + b^2c+bc^2 + c^2a+ca^2 + abc + 2abc]$

$= abc[ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + abc + 2abc]$

ここで、$a^2b+ab^2 + b^2c+bc^2 + c^2a+ca^2 + 3abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

という関係式を用いると

$= abc[(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc]$

与えられた値を代入すると

$= 5[4 \times 7 - 5] = 5[28 - 5] = 5 \times 23 = 115$

(3) $a^3+b^3+c^3$ を求める。

$a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ の関係を用いる。

$a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) + 3abc$

与えられた値を代入すると、

$a^3+b^3+c^3 = 4(2-7) + 3 \times 5 = 4(-5) + 15 = -20+15 = -5$

3. 最終的な答え

(1) $a^2+b^2+c^2 = 2$

(2) $a^2b^2c(a+b) + b^2c^2a(b+c) + c^2a^2b(c+a) + 3a^2b^2c^2 = 115$

(3) $a^3+b^3+c^3 = -5$