以下の2つの問題に答えます。 (1) $x = \sqrt{3} + \sqrt{7}, y = \sqrt{3} - \sqrt{7}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求めなさい。 (2) $a = \sqrt{3} - 4$ のとき、$a^2 - a - 42$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

以下の2つの問題に答えます。

(1) $x = \sqrt{3} + \sqrt{7}, y = \sqrt{3} - \sqrt{7}$ のとき、$x^2y + xy^2$ の値を求めなさい。

(2) $a = \sqrt{3} - 4$ のとき、$a^2 - a - 42$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2y + xy^2$ を因数分解します。

$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$

$x$ と $y$ の値を代入して $xy$ と $x+y$ を計算します。

$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{7})(\sqrt{3} - \sqrt{7}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = 3 - 7 = -4$

$x + y = (\sqrt{3} + \sqrt{7}) + (\sqrt{3} - \sqrt{7}) = 2\sqrt{3}$

したがって、$x^2y + xy^2 = xy(x+y) = (-4)(2\sqrt{3}) = -8\sqrt{3}$

(2)

$a = \sqrt{3} - 4$ より、$a + 4 = \sqrt{3}$

両辺を2乗して、 $(a + 4)^2 = (\sqrt{3})^2$

$a^2 + 8a + 16 = 3$

$a^2 = -8a - 13$

したがって、

$a^2 - a - 42 = (-8a - 13) - a - 42 = -9a - 55$

$a = \sqrt{3} - 4$ を代入して、

$-9(\sqrt{3} - 4) - 55 = -9\sqrt{3} + 36 - 55 = -9\sqrt{3} - 19$

3. 最終的な答え

(1) $-8\sqrt{3}$

(2) $-9\sqrt{3} - 19$