問題4は、ある等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき、$S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$である。この数列の初項から第30項までの和$S_{30}$を求める問題です。 問題5は、初項が50, 公差が-3である等差数列について、(1) 第何項が初めて負の数となるか、(2) 初項から第何項までの和が最大となるか、またその和を求める問題です。

1. 問題の内容

問題4は、ある等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき、$S_{10} = 100$, $S_{20} = 400$である。この数列の初項から第30項までの和$S_{30}$を求める問題です。

問題5は、初項が50, 公差が-3である等差数列について、(1) 第何項が初めて負の数となるか、(2) 初項から第何項までの和が最大となるか、またその和を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題4:

等差数列の和の公式 $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ を用いる。

$S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 5(2a + 9d) = 100$ より、

$2a + 9d = 20$ … (1)

$S_{20} = \frac{20}{2}(2a + 19d) = 10(2a + 19d) = 400$ より、

$2a + 19d = 40$ … (2)

(2) - (1) より、

$10d = 20$

$d = 2$

(1)に代入して、

$2a + 9(2) = 20$

$2a + 18 = 20$

$2a = 2$

$a = 1$

よって、初項$a = 1$, 公差$d = 2$ であることがわかる。

$S_{30} = \frac{30}{2}(2a + 29d) = 15(2(1) + 29(2)) = 15(2 + 58) = 15(60) = 900$

問題5(1):

等差数列の一般項の公式 $a_n = a + (n-1)d$ を用いる。

$a_n = 50 + (n-1)(-3) = 50 - 3n + 3 = -3n + 53$

$a_n < 0$ となる最小の整数$n$を求める。

$-3n + 53 < 0$

$3n > 53$

$n > \frac{53}{3} = 17.666...$

よって、初めて負の数となるのは第18項。

問題5(2):

$a_n = -3n + 53$

和が最大となるのは、$a_n > 0$ となる最大の$n$まで足し合わせたとき。

$a_n > 0$ を満たす最大の$n$は17。なぜなら、$a_{17} = -3(17)+53=2 > 0$、$a_{18} = -3(18) + 53 = -1 < 0$ だから。

よって、第17項までの和が最大。

$S_{17} = \frac{17}{2}(2(50) + (17-1)(-3)) = \frac{17}{2}(100 + 16(-3)) = \frac{17}{2}(100 - 48) = \frac{17}{2}(52) = 17(26) = 442$

3. 最終的な答え

問題4: $S_{30} = 900$

問題5(1): 第18項

問題5(2): 第17項までの和が最大で、その和は442