与えられた連立一次方程式を消去法で解く。問題は2つあり、それぞれ(1)と(2)で示される。 (1) $4x - 2y - 3z = 1$ $3x - 2y - z = -3$ $3x - y - 4z = 5$ (2) $x - 2y - 3z = -1$ $x + y + 3z = 2$ $x + 3y + 7z = 4$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を消去法で解く。問題は2つあり、それぞれ(1)と(2)で示される。

(1)

$4x - 2y - 3z = 1$

$3x - 2y - z = -3$

$3x - y - 4z = 5$

(2)

$x - 2y - 3z = -1$

$x + y + 3z = 2$

$x + 3y + 7z = 4$

2. 解き方の手順

(1) の場合:

まず、最初の2つの式を使って、$x$ または $y$ を消去することを考えます。

式1 - 式2:

$(4x - 2y - 3z) - (3x - 2y - z) = 1 - (-3)$

$x - 2z = 4$ ...(4)

次に、式2と式3を使って、$x$ を消去します。

式3 - 式2:

$(3x - y - 4z) - (3x - 2y - z) = 5 - (-3)$

$y - 3z = 8$

$y = 3z + 8$ ...(5)

式3に(5)を代入します

$3x - (3z+8) - 4z = 5$

$3x - 7z = 13$ ...(6)

次に、式4から、$x$ を求めて、式6に代入します。

$x = 2z + 4$

$3(2z+4) - 7z = 13$

$6z + 12 - 7z = 13$

$-z = 1$

$z = -1$

$x = 2(-1) + 4 = 2$

$y = 3(-1) + 8 = 5$

(2)の場合:

まず、最初の2つの式を使って、$x$ を消去することを考えます。

式2 - 式1:

$(x + y + 3z) - (x - 2y - 3z) = 2 - (-1)$

$3y + 6z = 3$

$y + 2z = 1$ ...(4)

次に、式3から式1を引くことによって、$x$ を消去します。

式3 - 式1:

$(x + 3y + 7z) - (x - 2y - 3z) = 4 - (-1)$

$5y + 10z = 5$

$y + 2z = 1$ ...(5)

式4と式5は同じなので、これは線形従属な連立方程式です。

$y = 1 - 2z$

これを式1に代入すると、

$x - 2(1 - 2z) - 3z = -1$

$x - 2 + 4z - 3z = -1$

$x + z = 1$

$x = 1 - z$

したがって、この連立方程式は一意な解を持ちません。

3. 最終的な答え

(1)

$x = 2$

$y = 5$

$z = -1$

(2)

$x = 1 - z$

$y = 1 - 2z$

$z = z$ (zは任意の実数)