画像に写っている複数の数学の問題を解く必要があります。問題は大きく分けて、「式の計算」、「数と集合」、「二次方程式」の3つの分野に分かれています。

1. 問題の内容

画像に写っている複数の数学の問題を解く必要があります。問題は大きく分けて、「式の計算」、「数と集合」、「二次方程式」の3つの分野に分かれています。

2. 解き方の手順

画像全体の問題数が多いため、ここでは最初の問題である「

1. 式の計算」の問題を解きます。

(1) (I) $(2x+3b)^6$ の展開式における $x^4b^2$ の項の係数を求める問題。

二項定理より、$(2x+3b)^6$ の展開式における一般項は、

$_6C_r (2x)^{6-r}(3b)^r$

$x^4b^2$の項は、$r=2$のときであるから、

$_6C_2 (2x)^{6-2}(3b)^2 = _{6}C_{2} (2x)^4 (3b)^2 = 15 \cdot 16x^4 \cdot 9b^2 = 2160x^4b^2$

したがって、$x^4b^2$の係数は、2160である。

(1) (II) $6x^2 - x - 12$ を因数分解する問題。

たすき掛けを用いて、$6x^2 - x - 12 = (2x-3)(3x+4)$

(2) $f(x) = x^3 + ax + 2$ ($a$ は実数)を $x-2$ で割ったときの余りを求める問題。また、その余りが $a$ に等しいとき、$a$ の値を求め、さらに $f(x)$ を $x^2 + bx + c$ で割ると、商は $x-3$ で余りを求める問題。

剰余の定理より、$f(2) = 2^3 + 2a + 2 = 8 + 2a + 2 = 2a + 10$

余りが $a$ に等しいとき、$2a + 10 = a$ より、$a = -10$

したがって、$f(x) = x^3 - 10x + 2$

これを $x^2 + bx + c$ で割ると、商が $x-3$であるから、

$x^3 - 10x + 2 = (x^2 + bx + c)(x-3) + R$ （Rは余り）

$x^3 - 10x + 2 = x^3 + (b-3)x^2 + (c-3b)x - 3c + R$

係数を比較して、$b-3 = 0$, $c-3b = -10$, $-3c + R = 2$

$b = 3$, $c - 9 = -10$, $-3c + R = 2$

$c = -1$, $3 + R = 2$

$R = -1$

(3) 2つの多項式 A, B の最大公約数が $x+2$ であり、$AB = x^3 + 3x^2 - 2x - 8$ であるとき、A, Bの最小公倍数を求める問題。

$AB = (x+2) \cdot LCM(A, B)$ (LCMは最小公倍数)

$LCM(A, B) = \frac{AB}{x+2} = \frac{x^3 + 3x^2 - 2x - 8}{x+2}$

組み立て除法を用いて、分子を $x+2$ で割ると、

$x^3 + 3x^2 - 2x - 8 = (x+2)(x^2 + x - 4)$

$LCM(A, B) = x^2 + x - 4$

(4) $\frac{1}{x(x-1)} - \frac{1}{(x-1)(x-2)} - \frac{1}{(x-2)(x-3)}$ を計算する問題。

部分分数分解を用いて、

$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$

$\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}$

与式 = $(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}) - (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}) - (\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2})$

= $\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x-3} = \frac{2x(x-3) - (x-1)(x-3) - x(x-1)}{x(x-1)(x-3)} = \frac{2x^2 - 6x - (x^2 - 4x + 3) - (x^2 - x)}{x(x-1)(x-3)} = \frac{2x^2 - 6x - x^2 + 4x - 3 - x^2 + x}{x(x-1)(x-3)} = \frac{-x - 3}{x(x-1)(x-3)}$

3. 最終的な答え

1. 式の計算

(1) (I) 2160

(1) (II) $(2x-3)(3x+4)$

(2) 余り: $2a+10$, $a=-10$, 余り: -1

(3) $x^2 + x - 4$

(4) $\frac{-x - 3}{x(x-1)(x-3)}$