与えられた列ベクトル $\mathbf{a}$ が、別の列ベクトル $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の1次結合で表せるかどうかを調べる問題です。表せる場合は、1次結合で表します。

1. 問題の内容

与えられた列ベクトル $\mathbf{a}$ が、別の列ベクトル $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の1次結合で表せるかどうかを調べる問題です。表せる場合は、1次結合で表します。

2. 解き方の手順

(1) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b_1} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ の場合:

$\mathbf{a} = x\mathbf{b_1} + y\mathbf{b_2}$ となるようなスカラー $x$ と $y$ を求めます。これは連立方程式を解くことに相当します。

$\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

これから次の連立方程式が得られます。

$3x + y = -2$

$-x + y = 1$

2番目の式から $y = x + 1$ が得られます。これを1番目の式に代入すると、

$3x + (x + 1) = -2$

$4x + 1 = -2$

$4x = -3$

$x = -\frac{3}{4}$

$y = x + 1 = -\frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4}$

したがって、$\mathbf{a} = -\frac{3}{4}\mathbf{b_1} + \frac{1}{4}\mathbf{b_2}$ です。

(2) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ の場合:

$\mathbf{a} = x\mathbf{b_1} + y\mathbf{b_2}$ となるようなスカラー $x$ と $y$ を求めます。

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

これから次の連立方程式が得られます。

$x + 2y = 1$

$3x + 3y = 2$

$y = 1$

3番目の式から $y=1$ が得られます。これを1番目の式に代入すると、

$x + 2(1) = 1$

$x + 2 = 1$

$x = -1$

$3x + 3y = 3(-1) + 3(1) = -3 + 3 = 0 \neq 2$ なので、2番目の式を満たしません。したがって、この$\mathbf{a}$は$\mathbf{b_1}$と$\mathbf{b_2}$の1次結合で表すことができません。

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{a} = -\frac{3}{4}\mathbf{b_1} + \frac{1}{4}\mathbf{b_2}$

(2) $\mathbf{a}$ は $\mathbf{b_1}$ と $\mathbf{b_2}$ の 1 次結合で表せない。