$x$ の方程式 $4^x + a \cdot 2^{x+2} + 3a + 1 = 0$ が異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の範囲を求める。ただし、$2^x = t$ とおく。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $4^x + a \cdot 2^{x+2} + 3a + 1 = 0$ が異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の範囲を求める。ただし、$2^x = t$ とおく。

2. 解き方の手順

まず、$2^x = t$ とおくと、$t > 0$ となる。

与えられた方程式は、

$4^x + a \cdot 2^{x+2} + 3a + 1 = (2^x)^2 + a \cdot 2^2 \cdot 2^x + 3a + 1 = t^2 + 4at + 3a + 1 = 0$

となる。

$x$ の方程式が異なる2つの実数解を持つためには、$t$ の方程式が異なる2つの正の実数解を持たなければならない。なぜなら、$t = 2^x$ より、$t > 0$ であり、$x$ が実数ならば $t$ も実数である。また、$x$ の値が異なれば、$t$ の値も異なる。

したがって、$t$ に関する2次方程式 $t^2 + 4at + 3a + 1 = 0$ が異なる2つの正の解を持つための条件を考える。

$f(t) = t^2 + 4at + 3a + 1$ とおく。

1. 判別式 $D > 0$

$D = (4a)^2 - 4(3a+1) = 16a^2 - 12a - 4 = 4(4a^2 - 3a - 1) > 0$

$4a^2 - 3a - 1 > 0$

$(4a + 1)(a - 1) > 0$

$a < -\frac{1}{4}$ または $a > 1$

2. 軸の位置 $> 0$

$t = -\frac{4a}{2} = -2a > 0$ より、$a < 0$

3. $f(0) > 0$

$f(0) = 3a + 1 > 0$ より、$a > -\frac{1}{3}$

上記の3つの条件をすべて満たす $a$ の範囲を求める。

$a < -\frac{1}{4}$ または $a > 1$ かつ $a < 0$ かつ $a > -\frac{1}{3}$

よって、$-\frac{1}{3} < a < -\frac{1}{4}$

ア = 0

イ = 4

ウ = 3

エオ = -1

カ = 3

キク = -1

ケ = 4

3. 最終的な答え

$t > 0$

異なる2つの正の解

$-\frac{1}{3} < a < -\frac{1}{4}$