3次方程式 $x^3 - 2x + 1 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 2x + 1 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式 $x^3 - 2x + 1 = 0$ の左辺を因数分解することを試みます。

$x=1$ を代入すると、 $1^3 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$ となり、$x=1$ は解の一つであることがわかります。

したがって、$x-1$ は $x^3 - 2x + 1$ の因数です。

多項式の割り算を用いて、$x^3 - 2x + 1$ を $x-1$ で割ります。

$x^3 - 2x + 1 = (x-1)(x^2 + x - 1)$

したがって、方程式は以下のように書き換えられます。

$(x-1)(x^2 + x - 1) = 0$

これから、$x-1 = 0$ または $x^2 + x - 1 = 0$ となります。

$x-1 = 0$ から、$x=1$ が得られます。

$x^2 + x - 1 = 0$ を解くために、二次方程式の解の公式を用います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a=1, b=1, c=-1$ であるので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

したがって、$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ と $x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$x = 1, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$