与えられた問題は、以下の3つの小問から構成されています。 (1) 2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$の値を求めます。 (2) $x$の整式 $x^3 - 6x^2 + ax + b$ が $x+1$ と $x-2$ でともに割り切れるとき、$a$と$b$の値を求めます。 (3) 円 $C: x^2 - 4x + y^2 + 2y - 4 = 0$ と直線 $l: 3x - 4y + k = 0$ ($k > 0$) について、以下の2つの場合について$k$の値を求めます。 (ア) 円$C$と直線$l$が接するとき。 (イ) 円$C$と直線$l$が2点$P, Q$で交わり、$PQ = 4$のとき。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の3つの小問から構成されています。

(1) 2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$の値を求めます。

(2) $x$の整式 $x^3 - 6x^2 + ax + b$ が $x+1$ と $x-2$ でともに割り切れるとき、$a$と$b$の値を求めます。

(3) 円 $C: x^2 - 4x + y^2 + 2y - 4 = 0$ と直線 $l: 3x - 4y + k = 0$ ($k > 0$) について、以下の2つの場合について$k$の値を求めます。

(ア) 円$C$と直線$l$が接するとき。

(イ) 円$C$と直線$l$が2点$P, Q$で交わり、$PQ = 4$のとき。

2. 解き方の手順

(1)

解と係数の関係から、$\alpha + \beta = -2$ かつ $\alpha \beta = -4$です。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

$= (-2)^3 - 3(-4)(-2)$

$= -8 - 24 = -32$

(2)

$x^3 - 6x^2 + ax + b$ が $x+1$ と $x-2$ で割り切れるので、

$P(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ とおくと、$P(-1) = 0$ かつ $P(2) = 0$。

$P(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + a(-1) + b = -1 - 6 - a + b = 0$ より、$-a + b = 7$。

$P(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + a(2) + b = 8 - 24 + 2a + b = 0$ より、$2a + b = 16$。

連立方程式 $-a + b = 7$ と $2a + b = 16$ を解きます。

$3a = 9$ より $a = 3$。

$b = a + 7 = 3 + 7 = 10$。

(3)

円 $C: x^2 - 4x + y^2 + 2y - 4 = 0$ を変形すると、

$(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 - 4 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$

よって、円$C$の中心は$(2, -1)$、半径は$3$です。

(ア) 円$C$と直線$l$が接するとき、円の中心から直線までの距離が半径に等しくなります。

$\frac{|3(2) - 4(-1) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 3$

$\frac{|6 + 4 + k|}{5} = 3$

$|10 + k| = 15$

$10 + k = 15$ または $10 + k = -15$

$k = 5$ または $k = -25$

$k > 0$ より、$k = 5$。

(イ) 円$C$と直線$l$が2点$P, Q$で交わり、$PQ = 4$のとき。

円の中心から直線$l$までの距離を$d$とすると、$PQ = 4$であることから、

$d^2 + (PQ/2)^2 = r^2$ が成り立ちます。（三平方の定理）

$d^2 + (4/2)^2 = 3^2$

$d^2 + 4 = 9$

$d^2 = 5$

$d = \sqrt{5}$

$\frac{|3(2) - 4(-1) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \sqrt{5}$

$\frac{|6 + 4 + k|}{5} = \sqrt{5}$

$|10 + k| = 5\sqrt{5}$

$10 + k = 5\sqrt{5}$ または $10 + k = -5\sqrt{5}$

$k = 5\sqrt{5} - 10$ または $k = -5\sqrt{5} - 10$

$k > 0$ より、$k = 5\sqrt{5} - 10$。

3. 最終的な答え

(1) -32

(2) $a = 3$, $b = 10$

(3) (ア) $k = 5$

(イ) $k = 5\sqrt{5} - 10$