(7) $xy - 2x + 3y - 1 = 0$ を満たす整数 $x, y$ の組を全て求めよ。 (8) $x^2 - y^2 = 24$ を満たす自然数 $x, y$ の組を全て求めよ。 (9) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 17$ を満たす整数 $x, y$ の組のうち、$y$ が正であるものを全て求めよ。

1. 問題の内容

(7) $xy - 2x + 3y - 1 = 0$ を満たす整数 $x, y$ の組を全て求めよ。

(8) $x^2 - y^2 = 24$ を満たす自然数 $x, y$ の組を全て求めよ。

(9) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 17$ を満たす整数 $x, y$ の組のうち、$y$ が正であるものを全て求めよ。

2. 解き方の手順

(7) $xy - 2x + 3y - 1 = 0$ を変形して、$(x+3)(y-2) + 6 - 1 = 0$ より、 $(x+3)(y-2) = -5$。

$x, y$ は整数なので、$x+3$ と $y-2$ は $-5$ の約数である。$-5$ の約数は $\pm 1, \pm 5$。

したがって、以下の組み合わせが考えられる。

- $x+3 = 1, y-2 = -5$ のとき、 $x = -2, y = -3$

- $x+3 = -1, y-2 = 5$ のとき、 $x = -4, y = 7$

- $x+3 = 5, y-2 = -1$ のとき、 $x = 2, y = 1$

- $x+3 = -5, y-2 = 1$ のとき、 $x = -8, y = 3$

(8) $x^2 - y^2 = 24$ より、 $(x+y)(x-y) = 24$。

$x, y$ は自然数なので、$x+y > 0$ であり、$x+y > x-y$ である。また、 $x+y$ と $x-y$ はともに整数であり、$x+y$ と $x-y$ の積は偶数なので、$x+y$ と $x-y$ はともに偶数である。

したがって、$(x+y, x-y)$ の組み合わせは以下の通りである。

- $(12, 2)$ のとき、$2x = 14$, $x = 7$, $2y = 10$, $y = 5$

- $(6, 4)$ のとき、$2x = 10$, $x = 5$, $2y = 2$, $y = 1$

(9) $x^2 + 2xy + 2y^2 = 17$ を変形すると、$(x+y)^2 + y^2 = 17$。

$y$ は正の整数なので、$y \ge 1$ である。

$y = 1$ のとき、$(x+1)^2 + 1 = 17$, $(x+1)^2 = 16$, $x+1 = \pm 4$, $x = 3, -5$

$y = 2$ のとき、$(x+2)^2 + 4 = 17$, $(x+2)^2 = 13$, 解なし

$y = 3$ のとき、$(x+3)^2 + 9 = 17$, $(x+3)^2 = 8$, 解なし

$y = 4$ のとき、$(x+4)^2 + 16 = 17$, $(x+4)^2 = 1$, $x+4 = \pm 1$, $x = -3, -5$

3. 最終的な答え

(7) $(x, y) = (-2, -3), (-4, 7), (2, 1), (-8, 3)$

(8) $(x, y) = (7, 5), (5, 1)$

(9) $(x, y) = (3, 1), (-5, 1), (-3, 4), (-5, 4)$