問題は、与えられた列ベクトル $\vec{a}$ が、列ベクトル $\vec{b_1}$ と $\vec{b_2}$ の一次結合で表すことができるための $a$ または $a, b$ の条件を求めることです。具体的には、次の2つの問題があります。 (1) $\vec{a} = \begin{bmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ (2) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ a \\ b \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた列ベクトル $\vec{a}$ が、列ベクトル $\vec{b_1}$ と $\vec{b_2}$ の一次結合で表すことができるための $a$ または $a, b$ の条件を求めることです。具体的には、次の2つの問題があります。

(1) $\vec{a} = \begin{bmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) $\vec{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ a \\ b \end{bmatrix}$, $\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{b_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ が $\vec{b_1}$ と $\vec{b_2}$ の一次結合で表せるということは、あるスカラー $c_1$ と $c_2$ が存在して、

$\vec{a} = c_1 \vec{b_1} + c_2 \vec{b_2}$

が成り立つということです。つまり、

$\begin{bmatrix} a \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

これを成分ごとに書くと、以下の連立方程式が得られます。

$a = c_1 + 2c_2$

$2 = 2c_1 + 3c_2$

$3 = c_1 + c_2$

3番目の式から、$c_1 = 3 - c_2$ となります。これを2番目の式に代入すると、

$2 = 2(3 - c_2) + 3c_2 = 6 - 2c_2 + 3c_2 = 6 + c_2$

したがって、$c_2 = -4$ となります。

$c_1 = 3 - c_2 = 3 - (-4) = 7$

これらの値を1番目の式に代入すると、

$a = c_1 + 2c_2 = 7 + 2(-4) = 7 - 8 = -1$

(2) 同様に、$\vec{a}$ が $\vec{b_1}$ と $\vec{b_2}$ の一次結合で表せるということは、あるスカラー $c_1$ と $c_2$ が存在して、

$\vec{a} = c_1 \vec{b_1} + c_2 \vec{b_2}$

が成り立つということです。つまり、

$\begin{bmatrix} 0 \\ a \\ b \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

これを成分ごとに書くと、以下の連立方程式が得られます。

$0 = c_1 + 2c_2$

$a = -c_1 + c_2$

$b = c_1 + 3c_2$

1番目の式から、$c_1 = -2c_2$ となります。これを2番目の式に代入すると、

$a = -(-2c_2) + c_2 = 2c_2 + c_2 = 3c_2$

したがって、$c_2 = a/3$ となります。

$c_1 = -2c_2 = -2a/3$

これらの値を3番目の式に代入すると、

$b = c_1 + 3c_2 = -2a/3 + 3(a/3) = -2a/3 + a = a/3$

したがって、$a = 3b$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$

(2) $a = 3b$