与えられた3つの行列式を計算する問題です。 (1) $\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -4 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 0 & 1 \\ -3 & -2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$ (3) $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 & -5 \\ -1 & -2 & 0 & 8 \\ -2 & -6 & -5 & 13 \\ 2 & 8 & 7 & 2 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列式を計算する問題です。

(1) $\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -4 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix}$

(2) $\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 0 & 1 \\ -3 & -2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$

(3) $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 & -5 \\ -1 & -2 & 0 & 8 \\ -2 & -6 & -5 & 13 \\ 2 & 8 & 7 & 2 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -4 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = 3(2\cdot0 - (-4)(-2)) - 0 + 1(0\cdot(-2) - 2\cdot1) = 3(0-8) + (0-2) = -24 - 2 = -26$

(2) 4x4行列の行列式を計算します。 まず、1列目の要素を使って余因子展開を行います。

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 0 & 1 \\ -3 & -2 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0\cdot C_{11} + (-1)(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \end{vmatrix} + (-2)(-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \end{vmatrix} + (-3)(-1)^{4+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$= 1\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \end{vmatrix} - 2\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \end{vmatrix} + 3\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - (-1)) - 2(0 - (-2)) + 3(1 - 0) = 1 - 4 + 3 = 0$

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - (-2)) - 2(0 - (-4)) + 3(0 - (-2)) = 2 - 8 + 6 = 0$

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - 2(0 - (-2)) + 3(0 - (-1)) = 1 - 4 + 3 = 0$

したがって、行列式は$1\cdot0 - 2\cdot0 + 3\cdot0 = 0$.

(3) 4x4行列の行列式を計算します。 まず、1列目の要素を使って余因子展開を行います。

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 & -5 \\ -1 & -2 & 0 & 8 \\ -2 & -6 & -5 & 13 \\ 2 & 8 & 7 & 2 \end{vmatrix}$

2列目から1列目の3倍を引く。3列目から1列目の2倍を引く。4列目から1列目の-5倍を引く。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2+3 & 0+2 & 8+5 \\ -2 & -6+6 & -5+4 & 13+10 \\ 2 & 8-6 & 7-4 & 2-10 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & 13 \\ -2 & 0 & -1 & 23 \\ 2 & 2 & 3 & -8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 13 \\ 0 & -1 & 23 \\ 2 & 3 & -8 \end{vmatrix} = 1(8-69) -2(0- (-46)) + 13(0-(-2)) = -61 -92 +26 = -127$

3. 最終的な答え

(1) -26

(2) 0

(3) -127