問題は次の2つの不等式を解くことです。 (1) $9^x + 3^x - 12 > 0$ (2) $(\frac{1}{4})^x + 3 \cdot (\frac{1}{2})^x - 10 \le 0$

1. 問題の内容

問題は次の2つの不等式を解くことです。

(1) $9^x + 3^x - 12 > 0$

(2) $(\frac{1}{4})^x + 3 \cdot (\frac{1}{2})^x - 10 \le 0$

2. 解き方の手順

(1) $9^x + 3^x - 12 > 0$

$3^x = t$ とおくと、$t > 0$ であり、$9^x = (3^x)^2 = t^2$ となる。

したがって、不等式は

$t^2 + t - 12 > 0$

$(t+4)(t-3) > 0$

$t > 0$ より、 $t+4 > 0$ なので、$t - 3 > 0$

$t > 3$

$3^x > 3$

$3^x > 3^1$

よって、$x > 1$

(2) $(\frac{1}{4})^x + 3 \cdot (\frac{1}{2})^x - 10 \le 0$

$(\frac{1}{2})^x = t$ とおくと、$t > 0$ であり、$(\frac{1}{4})^x = ((\frac{1}{2})^2)^x = ((\frac{1}{2})^x)^2 = t^2$ となる。

したがって、不等式は

$t^2 + 3t - 10 \le 0$

$(t+5)(t-2) \le 0$

$t > 0$ より、$t+5 > 0$ なので、$t - 2 \le 0$

$t \le 2$

$(\frac{1}{2})^x \le 2$

$(\frac{1}{2})^x \le (\frac{1}{2})^{-1}$

よって、$x \ge -1$

3. 最終的な答え

(1) $x > 1$

(2) $x \ge -1$