与えられた2つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた2つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ の場合

まず、分母を $(1-\sqrt{2})+\sqrt{3}$ と見て、$(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}$ を分母分子にかけます。

$\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{(1-\sqrt{2})+\sqrt{3}} \times \frac{(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}}$

$= \frac{(1-\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(1-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1-2\sqrt{2}+2-3} = \frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-2\sqrt{2}}$

次に、分母の $-2\sqrt{2}$ を有理化するために、分母分子に$\sqrt{2}$をかけます。

$\frac{1-\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-2-\sqrt{6}}{-4} = \frac{2-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ の場合

まず、分母を $(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}$ と見て、$(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}$ を分母分子にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}} \times \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}$

$= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$

次に、分母の $2\sqrt{6}$ を有理化するために、分母分子に$\sqrt{6}$をかけます。

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{12} = \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

(2) $\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{30}}{12}$