行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ および $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の問いに答える。 (1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。 (2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ および $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の問いに答える。

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。

(2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。

まず、$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ の行列式は $\det(A) = (3)(-1) - (0)(2) = -3$ である。

よって、$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & -1 \end{pmatrix}$。

$AX = B$ の両辺に左から $A^{-1}$ を掛けると、

$A^{-1}AX = A^{-1}B$

$IX = A^{-1}B$

$X = A^{-1}B$

$X = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\frac{1}{3})(3) + (0)(-1) & (\frac{1}{3})(-1) + (0)(2) \\ (\frac{2}{3})(3) + (-1)(-1) & (\frac{2}{3})(-1) + (-1)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ 2 + 1 & -\frac{2}{3} - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ 3 & -\frac{8}{3} \end{pmatrix}$

(2) $YB = A$ を満たす行列 $Y$ を求める。

$B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ の行列式は $\det(B) = (3)(2) - (-1)(-1) = 6 - 1 = 5$ である。

よって、$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}$。

$YB = A$ の両辺に右から $B^{-1}$ を掛けると、

$YBB^{-1} = AB^{-1}$

$YI = AB^{-1}$

$Y = AB^{-1}$

$Y = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(\frac{2}{5}) + (0)(\frac{1}{5}) & (3)(\frac{1}{5}) + (0)(\frac{3}{5}) \\ (2)(\frac{2}{5}) + (-1)(\frac{1}{5}) & (2)(\frac{1}{5}) + (-1)(\frac{3}{5}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} - \frac{1}{5} & \frac{2}{5} - \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $X = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ 3 & -\frac{8}{3} \end{pmatrix}$

(2) $Y = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$