$a$ を正の数とします。$xy$ 平面において、点 $A(a, 0)$ をとり、$C_1$ を双曲線 $x^2 - 4y^2 = -4$ とし、$C_2$ を双曲線 $x^2 - 4y^2 = 4$ とします。 (1) 点 $P$ が $C_1$ 上にあるとき、$AP$ を最小にする点 $P$ とその最小値を求めます。 (2) 点 $P$ が $C_2$ 上にあるとき、$AP$ を最小にする点 $P$ とその最小値を求めます。 (3) 点 $P$ が $C_1$ または $C_2$ 上にあるとき、点 $(2, 0)$ が $AP$ の最小値を与える点 $P$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$a$ を正の数とします。$xy$ 平面において、点 $A(a, 0)$ をとり、$C_1$ を双曲線 $x^2 - 4y^2 = -4$ とし、$C_2$ を双曲線 $x^2 - 4y^2 = 4$ とします。

(1) 点 $P$ が $C_1$ 上にあるとき、$AP$ を最小にする点 $P$ とその最小値を求めます。

(2) 点 $P$ が $C_2$ 上にあるとき、$AP$ を最小にする点 $P$ とその最小値を求めます。

(3) 点 $P$ が $C_1$ または $C_2$ 上にあるとき、点 $(2, 0)$ が $AP$ の最小値を与える点 $P$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、$P$ は $C_1$ 上にあるので、$x^2 - 4y^2 = -4$ が成り立ちます。この式から $y^2 = \frac{x^2 + 4}{4}$ となり、$y = \pm \frac{\sqrt{x^2+4}}{2}$ となります。

$AP^2 = (x - a)^2 + y^2 = (x - a)^2 + \frac{x^2 + 4}{4} = x^2 - 2ax + a^2 + \frac{x^2}{4} + 1 = \frac{5}{4}x^2 - 2ax + a^2 + 1$ となります。

$AP^2$ を最小にする $x$ を求めるために、平方完成します。

$AP^2 = \frac{5}{4} (x^2 - \frac{8}{5}ax) + a^2 + 1 = \frac{5}{4} (x - \frac{4}{5}a)^2 - \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{25}a^2 + a^2 + 1 = \frac{5}{4} (x - \frac{4}{5}a)^2 + \frac{1}{5}a^2 + 1$ となります。

$AP^2$ が最小となるのは $x = \frac{4}{5}a$ のときです。このとき、$x \ge 0$ である必要があります。

このとき $y^2 = \frac{(\frac{4}{5}a)^2 + 4}{4} = \frac{\frac{16}{25}a^2 + 4}{4} = \frac{4}{25}a^2 + 1$ となります。

したがって、$y = \pm \sqrt{\frac{4}{25}a^2 + 1}$ となります。

$AP$ の最小値は $\sqrt{\frac{1}{5}a^2 + 1}$ となります。

したがって、$P(\frac{4}{5}a, \pm \sqrt{\frac{4}{25}a^2 + 1})$ であり、$AP$ の最小値は $\sqrt{\frac{1}{5}a^2 + 1}$ です。

(2)

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とすると、$P$ は $C_2$ 上にあるので、$x^2 - 4y^2 = 4$ が成り立ちます。この式から $y^2 = \frac{x^2 - 4}{4}$ となり、$y = \pm \frac{\sqrt{x^2-4}}{2}$ となります。

$AP^2 = (x - a)^2 + y^2 = (x - a)^2 + \frac{x^2 - 4}{4} = x^2 - 2ax + a^2 + \frac{x^2}{4} - 1 = \frac{5}{4}x^2 - 2ax + a^2 - 1$ となります。ただし、$x^2 \ge 4$ が必要です。つまり $|x| \ge 2$ が必要です。

$AP^2$ を最小にする $x$ を求めるために、平方完成します。

$AP^2 = \frac{5}{4} (x^2 - \frac{8}{5}ax) + a^2 - 1 = \frac{5}{4} (x - \frac{4}{5}a)^2 - \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{25}a^2 + a^2 - 1 = \frac{5}{4} (x - \frac{4}{5}a)^2 + \frac{1}{5}a^2 - 1$ となります。

もし $\frac{4}{5}a \ge 2$、つまり $a \ge \frac{5}{2}$ なら、$x = \frac{4}{5}a$ で $AP^2$ は最小となり、最小値は $\frac{1}{5}a^2 - 1$ となります。このとき $y = \pm \frac{\sqrt{(\frac{4}{5}a)^2 - 4}}{2} = \pm \frac{\sqrt{\frac{16}{25}a^2 - 4}}{2}$ となります。

もし $0 < a < \frac{5}{2}$ なら、$x = 2$ で $AP^2$ は最小となり、最小値は $\frac{5}{4} \cdot 4 - 2a \cdot 2 + a^2 - 1 = 5 - 4a + a^2 - 1 = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$ となります。このとき $y = 0$ となります。

したがって、$a \ge \frac{5}{2}$ のとき、$P(\frac{4}{5}a, \pm \frac{\sqrt{\frac{16}{25}a^2 - 4}}{2})$ であり、$AP$ の最小値は $\sqrt{\frac{1}{5}a^2 - 1}$ です。

$0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$P(2, 0)$ であり、$AP$ の最小値は $|a-2|$ です。

(3)

もし $a \ge \frac{5}{2}$ なら、$P(2,0)$ が $AP$ を最小にすることはあり得ません。なぜなら、(2) より $P(2, 0)$ は $0 < a < \frac{5}{2}$ のときの $C_2$ 上の $AP$ を最小にする点であるからです。

$0 < a < \frac{5}{2}$ の場合を考えます。

$C_1$ 上の点 $P$ で $AP$ を最小にする点は $(\frac{4}{5}a, \pm \sqrt{\frac{4}{25}a^2 + 1})$ であり、このときの $AP$ の値は $\sqrt{\frac{1}{5}a^2 + 1}$ です。

$C_2$ 上の点 $P$ で $AP$ を最小にする点は $(2, 0)$ であり、このときの $AP$ の値は $|a - 2|$ です。

点 $(2,0)$ が $AP$ の最小値を与える点となるためには、$\sqrt{\frac{1}{5}a^2 + 1} \ge |a-2|$ が必要です。

$\frac{1}{5}a^2 + 1 \ge (a - 2)^2 = a^2 - 4a + 4$

$a^2 + 5 \ge 5a^2 - 20a + 20$

$0 \ge 4a^2 - 20a + 15$

$4a^2 - 20a + 15 \le 0$

解の公式より、$a = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 240}}{8} = \frac{20 \pm \sqrt{160}}{8} = \frac{20 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{5 \pm \sqrt{10}}{2}$ となります。

したがって、$\frac{5 - \sqrt{10}}{2} \le a \le \frac{5 + \sqrt{10}}{2}$ となります。

ここで、$\frac{5 - \sqrt{10}}{2} > 0$ であり、$\frac{5 + \sqrt{10}}{2} \approx \frac{5 + 3.16}{2} \approx 4.08 < \frac{5}{2} = 2.5$ です。

以上より、$\frac{5-\sqrt{10}}{2} \le a \le \frac{5+\sqrt{10}}{2}$。ただし、$a < \frac{5}{2}$ なので、$\frac{5 - \sqrt{10}}{2} \le a \le \frac{5+\sqrt{10}}{2}$ と $\frac{5 - \sqrt{10}}{2} \le a \le \frac{5}{2}$ の共通範囲を取ると、$\frac{5-\sqrt{10}}{2} \le a \le 2$ が求めたい範囲である。ただし$\frac{5 + \sqrt{10}}{2}$は$5/2$より大きいので、その共通範囲をとる必要はない。$\frac{5 - \sqrt{10}}{2} \le a \le \frac{5}{2}$となる。計算間違いがありました。訂正します。

$a = \frac{5 + \sqrt{10}}{2} \approx 4.08$ は $\frac{5}{2}$ より大きいので、$0 < a < \frac{5}{2}$ より $\frac{5-\sqrt{10}}{2} \le a \le \frac{5}{2}$ が、$AP$の最小値を $C_2$ 上の $(2,0)$ が与えるような$a$の範囲。

3. 最終的な答え

(1) $P(\frac{4}{5}a, \pm \sqrt{\frac{4}{25}a^2 + 1})$ 、最小値 $\sqrt{\frac{1}{5}a^2 + 1}$

(2) $a \ge \frac{5}{2}$ のとき、$P(\frac{4}{5}a, \pm \frac{\sqrt{\frac{16}{25}a^2 - 4}}{2})$ 、最小値 $\sqrt{\frac{1}{5}a^2 - 1}$

$0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$P(2, 0)$ 、最小値 $|a-2|$

(3) $\frac{5-\sqrt{10}}{2} \le a \le \frac{5}{2}$