不等式 $2 < x \le \frac{a-5}{2}$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $2 < x \le \frac{a-5}{2}$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

$2 < x \le \frac{a-5}{2}$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するという条件から、$a$ の範囲を求める。

まず、$2 < x$ より、$x$ は3以上の整数である。条件より、$x$ は3, 4, 5, 6, 7の5つの整数となる。よって、$\frac{a-5}{2}$ は7以上、8未満である必要がある。

$\frac{a-5}{2} \ge 7$ かつ $\frac{a-5}{2} < 8$ という不等式を立てる。

$\frac{a-5}{2} \ge 7$ を解くと、

$a-5 \ge 14$

$a \ge 19$

$\frac{a-5}{2} < 8$ を解くと、

$a-5 < 16$

$a < 21$

したがって、$19 \le a < 21$ となる。

3. 最終的な答え

$19 \le a < 21$