連立不等式 $\begin{cases} \frac{x}{5} + \frac{1}{10} \geq \frac{x+1}{2} \\ 2x - 1 > 2a \end{cases}$ を満たす整数 $x$ の個数がちょうど5個となるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases}

\frac{x}{5} + \frac{1}{10} \geq \frac{x+1}{2} \\

2x - 1 > 2a

\end{cases}$

を満たす整数 $x$ の個数がちょうど5個となるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解く。

1つ目の不等式:

$\frac{x}{5} + \frac{1}{10} \geq \frac{x+1}{2}$

両辺に10を掛けて、

$2x + 1 \geq 5(x+1)$

$2x + 1 \geq 5x + 5$

$-3x \geq 4$

$x \leq -\frac{4}{3}$

2つ目の不等式:

$2x - 1 > 2a$

$2x > 2a + 1$

$x > a + \frac{1}{2}$

したがって、連立不等式の解は $a + \frac{1}{2} < x \leq -\frac{4}{3}$ となる。

$-\frac{4}{3} \approx -1.33$ なので、$x \leq -1.33$ を満たす整数は、$x \leq -2$ である。

したがって、連立不等式を満たす整数 $x$ は、 $a + \frac{1}{2} < x \leq -2$ となる。

この範囲に整数がちょうど5個存在するためには、整数 $x$ は $-6, -5, -4, -3, -2$ でなければならない。

したがって、$a + \frac{1}{2} < -6$ であり、$a + \frac{1}{2} \geq -7$ が必要である。

つまり、

$a + \frac{1}{2} < -6$

$a < -6 - \frac{1}{2}$

$a < -\frac{13}{2}$

そして、

$a + \frac{1}{2} \geq -7$

$a \geq -7 - \frac{1}{2}$

$a \geq -\frac{15}{2}$

したがって、$-\frac{15}{2} \leq a < -\frac{13}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$-\frac{15}{2} \leq a < -\frac{13}{2}$