(1)(i) $(2a+3b)^3$ の展開式における $a^2b$ の項の係数を求める。 (ii) $6x^2 - x - 12$ を因数分解する。 (2) $f(x) = x^3 + ax + 2$ (aは定数) を $x-2$ で割ったときの余りを求め、その余りが6に等しいとき、$a$ の値を求める。また、このとき、$f(x)$ をある式で割ると、商は $x-3$ で余りを求める。 (3) 2つの整式 $A, B$ の最大公約数が $x+2$ で、積 $AB$ が $x^4 + 3x^3 - 2x^2 - ax - b$ であるとき、$a, b$ の値を求め、 $A, B$ の最小公倍数を求める。 (4) $\frac{1}{x(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1)(i) $(2a+3b)^3$ の展開式における $a^2b$ の項の係数を求める。

(ii) $6x^2 - x - 12$ を因数分解する。

(2) $f(x) = x^3 + ax + 2$ (aは定数) を $x-2$ で割ったときの余りを求め、その余りが6に等しいとき、$a$ の値を求める。また、このとき、$f(x)$ をある式で割ると、商は $x-3$ で余りを求める。

(3) 2つの整式 $A, B$ の最大公約数が $x+2$ で、積 $AB$ が $x^4 + 3x^3 - 2x^2 - ax - b$ であるとき、$a, b$ の値を求め、 $A, B$ の最小公倍数を求める。

(4) $\frac{1}{x(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)(i) $(2a+3b)^3 = (2a)^3 + 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 + (3b)^3 = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$

$a^2b$ の項の係数は 36。

(ii) $6x^2 - x - 12 = (2x-3)(3x+4)$

(2) $f(x) = x^3 + ax + 2$ を $x-2$ で割った余りは $f(2) = 2^3 + 2a + 2 = 8 + 2a + 2 = 2a + 10$.

余りが6に等しいとき、$2a + 10 = 6$ より $2a = -4$, $a = -2$.

$f(x) = x^3 - 2x + 2$. これを $x^2+x-1$ で割ることを考える.

$x^3 - 2x + 2 = (x-3)(x^2 + x - 1) + R$

$x^3 - 2x + 2 = x^3 + x^2 - x - 3x^2 - 3x + 3 + R = x^3 - 2x^2 - 4x + 3 + R$

$x^3-2x + 2 = (x-3)(x^2+x-1) + (x^2-3x-1)$

$f(x) = (x^2+x-1)(x-3)+x^2+3x-1$

割り算が間違ってる？

$x^3 - 2x + 2 = (x-3)(x^2 + cx + d) + R$

$x^3 - 2x + 2 = x^3 + cx^2 + dx - 3x^2 - 3cx - 3d + R$

$x^3 + (c-3)x^2 + (d-3c)x - 3d + R = x^3 + 0x^2 - 2x + 2$

$c-3 = 0 \implies c = 3$

$d-3c = -2 \implies d - 9 = -2 \implies d = 7$

$-3d + R = 2 \implies -21 + R = 2 \implies R = 23$

$x^3 - 2x + 2 = (x-3)(x^2+3x+7)+23$

(3) $AB = (x+2)(x^3 + x^2 - 4x + 2) = x^4 + x^3 - 4x^2 + 2x + 2x^3 + 2x^2 - 8x + 4 = x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 6x + 4$.

よって $-ax = -6x$, $-b = 4$.

$a = 6, b = -4$.

最小公倍数は $x^3 + x^2 - 4x + 2$.

(4) $\frac{1}{x(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{1}{(x-2)(x-3)} = (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}) + (\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}) + (\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}) = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x-3)}{x(x-3)} = \frac{3}{x^2 - 3x}$

3. 最終的な答え

(1)(i) 36

(ii) $(2x-3)(3x+4)$

(2) $a = -2$, 余り 23

(3) $a = 6$, $b = -4$, 最小公倍数: $x^3 + x^2 - 4x + 2$

(4) $\frac{3}{x^2 - 3x}$