与えられた二次関数 $y=x^2-2(a+1)x+2a+1$ を、平方完成を用いて $y=a(x-p)^2+q$ の形に変形せよ。ただし、$a$ は定数である。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y=x^2-2(a+1)x+2a+1$ を、平方完成を用いて $y=a(x-p)^2+q$ の形に変形せよ。ただし、$a$ は定数である。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の項を平方完成する。

$y = x^2 - 2(a+1)x + 2a + 1$

$y = [x^2 - 2(a+1)x + (a+1)^2] - (a+1)^2 + 2a + 1$

$y = [x - (a+1)]^2 - (a^2 + 2a + 1) + 2a + 1$

$y = [x - (a+1)]^2 - a^2 - 2a - 1 + 2a + 1$

$y = [x - (a+1)]^2 - a^2$

3. 最終的な答え

$y = (x - (a+1))^2 - a^2$