与えられた6つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2+9xy+8y^2$ (2) $x^2-12xy+20y^2$ (3) $x^2+2xy-24y^2$ (4) $a^2+3ab-28b^2$ (5) $p^2-4pq-45q^2$ (6) $x^2-5xy-36y^2$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2+9xy+8y^2$

(2) $x^2-12xy+20y^2$

(3) $x^2+2xy-24y^2$

(4) $a^2+3ab-28b^2$

(5) $p^2-4pq-45q^2$

(6) $x^2-5xy-36y^2$

2. 解き方の手順

これらの式はすべて $ax^2 + bxy + cy^2$ の形をしています。この形の式を因数分解するには、$ac$ の積を考え、その和が $b$ になるような2つの数を見つけます。

(1) $x^2+9xy+8y^2$

$8$の因数は、$1 \times 8$ と $2 \times 4$。 $1 + 8 = 9$ なので、$1$と$8$を使います。

$x^2+9xy+8y^2 = (x+y)(x+8y)$

(2) $x^2-12xy+20y^2$

$20$の因数は、$1 \times 20$、$2 \times 10$、$4 \times 5$。$(-2) + (-10) = -12$ なので、$-2$と$-10$を使います。

$x^2-12xy+20y^2 = (x-2y)(x-10y)$

(3) $x^2+2xy-24y^2$

$-24$の因数は、$1 \times -24$、$2 \times -12$、$3 \times -8$、$4 \times -6$、$-1 \times 24$、$-2 \times 12$、$-3 \times 8$、$-4 \times 6$。$6 + (-4) = 2$ なので、$6$と$-4$を使います。

$x^2+2xy-24y^2 = (x+6y)(x-4y)$

(4) $a^2+3ab-28b^2$

$-28$の因数は、$1 \times -28$、$2 \times -14$、$4 \times -7$、$-1 \times 28$、$-2 \times 14$、$-4 \times 7$。$7 + (-4) = 3$ なので、$7$と$-4$を使います。

$a^2+3ab-28b^2 = (a+7b)(a-4b)$

(5) $p^2-4pq-45q^2$

$-45$の因数は、$1 \times -45$、$3 \times -15$、$5 \times -9$、$-1 \times 45$、$-3 \times 15$、$-5 \times 9$。$-9 + 5 = -4$なので、$5$と$-9$を使います。

$p^2-4pq-45q^2 = (p+5q)(p-9q)$

(6) $x^2-5xy-36y^2$

$-36$の因数は、$1 \times -36$、$2 \times -18$、$3 \times -12$、$4 \times -9$、$6 \times -6$、$-1 \times 36$、$-2 \times 18$、$-3 \times 12$、$-4 \times 9$。$-9 + 4 = -5$なので、$4$と$-9$を使います。

$x^2-5xy-36y^2 = (x+4y)(x-9y)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y)(x+8y)$

(2) $(x-2y)(x-10y)$

(3) $(x+6y)(x-4y)$

(4) $(a+7b)(a-4b)$

(5) $(p+5q)(p-9q)$

(6) $(x+4y)(x-9y)$